6. Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы вида

,

где - целые числа, сводятся к интегралу от рациональных функций заменой переменной , где - наименьшее общее кратное чисел (НОК ). Аналогичная подстановка делается, если вместо содержатся выражения вида или .

Пример 8. Вычислить интеграл

.

Т.к. НОК (2;3)=6, то делаем подстановку:

и

=

Переходя к переменной , получим:

Интегралы вида , где - вещественные числа, в общем случае вычисляются одной из подстановок Эйлера:

, ; (9)

, ; (10)

или , (11)

где и - различные вещественные корни трехчлена .

Пример 9. Вычислить интеграл

.

Используем 1–ю подстановку Эйлера (9): . Возведем в квадрат обе части равенства. После сокращения получим:

;

выразим теперь радикал через переменную :

.

Подставляя выраженные через величины в , получим:

.

Делая подстановку ; , получим:

7. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида в общем случае вычисляются подстановкой . При этом

, , (12)

и подынтегральная функция станет рациональной функцией от .

Пример 10. Вычислить интеграл

.

Делая подстановку и используя формулы (12), интеграл запишем в виде:

Интегралы вида , где - целые числа, удобно вычислять подстановкой .

Интегралы вида , где - числа разной четности, вычисляются подстановкой , если четно и , если четно.

Интегралы вида ; ; , где , вычисляются с использованием формул тригонометрии, преобразующих произведение тригонометрических функций в их сумму.

8. Определенный интеграл.

Пусть дана непрерывная на отрезке функция . Разобьем точками , на отрезков длиной (рис. 1) и составим сумму

, (13)

которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Каждое слагаемое этой суммы приближенно равно площади прямоугольника высотой и с основанием , поэтому вся сумма (13) будет приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , отрезком на оси и кривой .

Если функция непрерывна на отрезке , то при всех существует предел суммы (13), не зависящий от способа разбиения отрезка . Этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Т.о.:

(14)

и формула (14) дает точное значение площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

, (15)

где - первообразная для функции .

Пример 11. Вычислить определенный интеграл

.

Используя формулу (15), получим:

.

При интегрировании по частям определенного интеграла справедлива формула:

. (15а)

9. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена в интервале . Тогда предел называется несобственным интегралом. Если этот интеграл существует (т.е. равен какому – то числу), то он называется сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах и :

,

.

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл

.