1. Неопределенный интеграл.
Пусть
дана функция
.
Функция
называется первообразной для
подынтегральной функции
или интегралом от
,
если
является производной для функции
,
т.е.
и
.
Например, для функции
первообразной будет функция
,
т.к.
.
Если
является первообразной для
,
то и
,
где
-
произвольная константа, также будет
являться первообразной для
,
поскольку производная от константы
равна нулю. Совокупность всех первообразных
функций для функции
называется неопределенным интегралом
и обозначается
.
Таким образом:
. (1)
Из определения неопределенного интеграла вытекают формулы:
(2)
(3)
Формула (3) может быть использована для проверки правильности интегрирования.
Геометрически
неопределенный интеграл можно
интерпретировать как бесконечное
множество кривых
,
сдвинутых относительно друг друга на
произвольную константу вдоль оси
.
2. Формулы интегрирования и таблица основных интегралов.
,
а – константа.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Вычисление любого сложного интеграла, выражающегося через элементарные функции путем преобразований (если это необходимо), сводится к вычислению интегралов, представленных в таблице. Если интеграл табличный, то интегрирование осуществляется сразу.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Разбиваем интеграл на три интеграла и интегрируем:
Дифференцированием первообразной проверим правильность интегрирования:
Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, т.е. интегрирование проведено правильно.
3. Интегрирование методом подстановки или замены переменной.
Метод
подстановки заключается в том, что
переходя от переменной
к
новой переменной
с помощью равенства
или
,
где
и
-
некоторые дифференцируемые (за
исключением, быть может, конечного числа
точек) функции, получаем более простую
подынтегральную функцию, интеграл от
которой вычислить легче, чем от исходной
функции.
Пример
2. Вычислить интеграл
.
Здесь необходимо упростить аргумент
синуса, поэтому делаем подстановку:
;
;
.
После подстановки исходный интеграл сводится к табличному:
.
В
этом примере мы использовали подстановку
,
где
.
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Делаем подстановку:
;
;
.
В
результате интеграл
запишется
в виде:
.
В
данном примере использовалась подстановка
,
где
.
4. Интегрирование по частям.
Пусть
две дифференцируемые функции
и
зависят
от
.
Тогда
.
Интегрируя обе части равенства, получим:
или
(4)
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям и применяется тогда, когда, например, интеграл в левой части равенства вычислить сложнее, чем интеграл в правой части равенства.
Пример
4. Вычислить интеграл
.
Обозначим:
,
.
Тогда:
,
.
По формуле (4) получаем:
.
Пример
5. Вычислить интеграл
.
Обозначим:
,
.
Тогда:
,
.
По формуле (4) получаем:
.
При интегрировании по частям важно правильно выделить функцию в подынтегральной функции.
5. Интегрирование рациональных дробей.
Пусть дан интеграл вида
,
где
и
-
полиномы (многочлены) степени
и
соответственно. Подынтегральная функция
в этом случае будет называться правильной
рациональной дробью, если
и неправильной рациональной дробью,
если
.
Интеграл
в общем случае можно вычислить, если
только
.
Если
,
то необходимо провести деление полинома
на полином
.
В результате получается выражение вида:
, (5)
где
полином
называется целой частью исходного
выражения, а
- остатком от деления. Второе слагаемое
в (5) при этом является правильной дробью,
т.е.
.
Пример 6. Представить неправильную дробь
в виде целой части и правильной дроби.
Делаем деление:
Таким образом:
.
Интегрирование
целой части в (5) не представляет труда.
Для интегрирования правильной дроби,
если
,
необходимо разложение второго слагаемого
в (5) на более простые дроби. Считая, что
коэффициент при
в
равен единице (если он не равен единице,
то этого можно добиться очевидным
образом), полином
с вещественными коэффициентами можно,
как доказывается в алгебре, единственным
образом записать в виде:
(6)
где
- натуральные числа,
-
вещественные числа, а множители вида
не имеют вещественных корней (т.е.
дискриминант отрицателен). Тогда второе
слагаемое в (5) можно представить в виде:
(7)
где
- константы.
Как видно из (7), каждому множителю в правой части (6) соответствует столько дробей в правой части (7), какова кратность этого множителя.
Константы
,
,
находятся из системы уравнений, которая
получается следующим образом. Все дроби
в правой части равенства (7) приводятся
к общему знаменателю. В числителе правой
части собираются слагаемые с одинаковыми
степенями
и коэффициенты при них приравниваются
к коэффициентам при
в соответствующих степенях в полиноме
.
В результате получается система уравнений
для определения искомых констант.
Пример 7. Вычислить интеграл
Т.к. степень полинома в числителе больше степени полинома в знаменателе, то разделим числитель на знаменатель, предварительно перемножив сомножители в знаменателе:
В результате интеграл перепишется в виде:
.
Первый
интеграл легко вычисляется: он равен
.
Прежде чем вычислять второй интеграл
(обозначим его
),
необходимо выяснить, вещественны или
комплексны корни уравнения
. (8)
От
вида корней зависит вид разложения
подынтегральной функции в
по формуле (7). Т.к. корни уравнения (8)
комплексные (дискриминант
),
то разложение подынтегральной функции
в
по формуле (7) имеет вид:
После приведения правой части равенства к общему знаменателю получим:
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства, получим систему уравнений:
Решая эту систему, найдем:
,
,
,
.
Таким образом,
.
В последнем интеграле знаменатель приводим к полному квадрату:
.
В результате интеграл дает арктангенс. Окончательно получим:
