10. Понятие компактности множества. Точная нижняя грань и точная верхняя грань.

Компактное множество- подмножество Мтопологич. пространства Xтакое, что каждая бесконечная последовательность  содержит подпоследовательность, сходящуюся к нек-рой точке х ₀ пространства X. Если  то Мназ. компактным в себе множеством. Оно является компактным пространством виндуцированной из Xтопологии. Обратно, всякое К. м. метрич. пространства является в такой топологиикомпактным пространством. Множество, замыкание к-рого - К. м., наз. относительно компактныммножеством. Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества   — число  , такое что  Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества   — число  , такое что  Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наименьший элемент  , который равен или больше всех элементов множества  . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается  .Более формально:  — множество верхних граней  , то есть элементов  , равных или больших всех элементов 

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или инфи́мумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества   упорядоченного множества (или класса)  , называется наибольший элемент  , который равен или меньше всех элементов множества  . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается  .

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли   и   множеству   или нет.

В случае  , говорят, что   является максимумом  , то есть  .

В случае  , говорят, что   является минимумом  , то есть 

Следует отметить, что приведенные определения точных граней являются непредикативными (ссылающимися на самих себя) определениями, поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется (см. подробнее в Impredicativity). Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы "порочного круга" в рамках своих теорий.

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и д В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:

Если функция   непрерывна на отрезке  , то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют   такие, что   для всех 

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань  . Поскольку   - точная верхняя грань, существует последовательность   такая, что  . По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности   можно выделить сходящуюся подпоследовательность  , предел которой (назовем его  ) также принадлежит отрезку  . В силу непрерывности функции   имеем  , но с другой стороны  . Таким образом, точная верхняя грань   конечна и достигается в точке  .

Для нижней грани доказательство аналогично.