6. Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке конечномерного пространства

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве. О конформном отображении областей с переменными границами - один из основных результатов теорииконформных отображений областей с переменными границами; получен К. Каратеодори.

Пусть дана последовательность односвязных областей В _п, п=1,2, . . ., плоскости z, содержащих фиксированную точку z₀,  Если существует круг |z-z₀|<r, r>0, принадлежащий всем областям В _п, тоядром последовательности В _п, n = 1, 2, ..., относительно точки z₀ наз. наибольшая область В, содержащаяточку z₀ и обладающая тем свойством, что для всякого компакта Е, принадлежащего В, существует такоечисло N, что Епринадлежит областям В _п при   Наибольшая область понимается в том смысле, чтоона содержит любую другую область, обладающую тем же свойством. Если указанного круга не существует,то под ядром Впоследовательности В _n, п= 1, 2, . . ., понимается точка z₀ (в этом случае говорят, чтопоследовательность областей В _п, n=1, 2, ..., имеет вырожденное ядро). Последовательность областей В _п,n=1, 2,..., сходится к ядру В, если любая последовательность из В _п имеет своим ядром также В.

Теорема Каратеодори. Пусть дана последовательность функций z=f_n(x), f_n(x₀)=z₀, f'_n(x₀)>0, n=1,2,...,регулярных и однолистных в круге |z-z₀| <1 и отображающих |z-z₀| <1 соответственно на области В _п. Для тогочтобы функций f_n(z), n=1, 2,..., сходились в круге |x-x₀| <1 к конечной функции f(x), необходимо и достаточно,чтобы последовательность областей В _п, n=1, 2,..., сходилась к ядру В, к-рое есть либо точка z₀, либообласть, имеющая более одной граничной точки. При этом сходимость равномерна внутри круга |x-x₀|<1.Если предельная функция   то она однолистно отображает круг |x-x₀| <1 на ядро В, а обратные функции j_n(z), n=1,2,. .., равномерно сходятся внутри  к функции j(z), обратной к f(x).

7.Понятия целевая функция и ограничения задачи оптимизации

Можно выделить два типа задач оптимизации — безусловные и  условные. Безусловная задача оптимизации состоит в  отыскании максимума или минимума действительной функции (1.1) при действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве σ  n-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, это такие, при  формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между, проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов т. п.

в результате ограничений область проектирования , определяемая всеми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи.

            При наличие ограничений оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму в нутрии области проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если ограничения отсутствуют то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, то есть глобальный экстремум.