18. Неоднозначность терминологии лп: понятия матрица и вектор условий задачи лп, опорный план и оптимальный план задачи лп.

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа.Матрицей размера m на n (записывается так   )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:  - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

 - множество всех матриц размера m на n;

 - матрица A с элементами   в позиции (i,j);

 - матрица размера m на n.

Элементы   , где i=j, называются диагональными, а элементы   , где   - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов   , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера   существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера   называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера   называется матрицей столбцом или вектор-столбцом. 

19. Идеи и принципиальные соображения, лежащие в основе конечных методов решения задач лп.

20. Элементарное преобразование базиса.

Перебор базисов, который происходит при решении задачи симплекс-методом, производится посредством минимального из­менения рассматриваемого в данный момент базиса. Таким ми­нимальным изменением, очевидно, является замена одного из ба­зисных столбцов на другой столбец матрицы А из числа неба­зисных. Подобное преобразование базиса мы и будем называть элементарным. Естественно, выбор того и другого столбца при этом преобразовании не является произвольным, а производится в соответствии с определенными правилами, что и делает перебор целенаправленным.Наша ближайшая цель — проследить за изменением симплекс-таблицы при таком преобразовании базиса и установить правило,которое может быть использовано для получения симплекс-таб­лицы, соответствующей преобразованному базису.Пусть в базисе В = [А^),..., Аст(т)], которому соответствует симплекс-таблица (2.5), столбец Аа^ решено заменить на стол­бец А3, в 6 Б1. Результатом такой замены будет новый базис В' = [А(7(1),..., А(7(г_1), А3, А(7(г+1),..., А(7(т)], если только элемент ггз симплекс-таблицы не равен 0. Это легко понять, если учесть, что согласно (2.4) (г1з,..., гтз)т = В~1 А31 т.е. А3 = В(г1з,..., гтз)т или т А3 = ^2 ггв^-а(%) • г = 1Поскольку разложение любого вектора по векторам базиса един­ственно, то при ггз ф 0 вектор А3 не может быть представлен в ви­де линейной комбинации векторов Аа^,..., А(7(г_1), Аа^г+1^,..., ^ст(т)) ЧТО означает линейную независимость столбцов в В'. В случае ггз = 0 вышеприведенное представление вектора А3 сви­детельствует о линейной зависимости столбцов матрицы В'.Чтобы сформулировать правило, согласно которому может быть получена симплекс-таблица, соответствующая преобразо­ванному базису В', напомним, что элементами таблицы являют­ся коэффициенты линейной системы (2.1"), (2.2"), полученной из системы (2.1), (2.2) путем приведения ее к диагональной форме относительно базисных переменных и переменной —ги. Так как новый набор базисных переменных отличается от старого только одной переменной х3 (заменившей переменную ж^,.)), то для полу­чения элементов новой симплекс-таблицы достаточно выполнить один шаг метода исключения Гаусса-Жордана, чтобы исключить х3 из всех, кроме одного, уравнений системы (2.1"), (2.2"), соот­ветствующей старому базису В (используя для этого единствен­ное уравнение данной системы, содержащее из числа базисных только исключаемую из базиса переменную жст(г), т.е. г-е уравне­ние).Таким образом, мы приходим к следующему правилу: разде­лить г-ю строку симплекс-таблицы на ггз и прибавить ее, умноженную на надлежащим образом подобранные числа, к другим строкам так, чтобы 1 в позиции (г, в) осталась единственным не­нулевым элементом й-го столбца. Если воспользоваться обозна­чением о.і для г-ж вектор-строки симплекс-таблицы, то правило преобразования можно изобразить схематично следующим обра­зом: