- •1. Цель и задачи курса «Методы оптимальных решений».
- •2. Классификация и специфика задач математического программирования (мп).
- •3. Основные этапы процесса моделирования задач мп.
- •4. Некоторые стандартные примеры математических моделей в мп (задача о рационе,
- •5. Основные понятия и факты, являющиеся базисными в теории оптимизации.
- •6. Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке конечномерного пространства
- •7.Понятия целевая функция и ограничения задачи оптимизации
- •9. Математическая постановка задачи оптимизации.
- •10. Понятие компактности множества. Точная нижняя грань и точная верхняя грань.
- •11. Линейное программирование (лп). Специфика задач лп
- •13. Фундаментальное понятие базиса. Базисное, базисное допустимое и оптимальное базисное решение задачи лп.
- •14. Теорема, устанавливающая необходимое и достаточное условие существования базисного решения системы ограничений, безотносительно к способу их получения.
- •15. Геометрический смысл понятия базисного допустимого решения.
- •16. Критерий разрешимости задачи лп (с обоснованием).
- •17. Достаточное условие существования оптимального базисного решения (с обоснованием).
- •18. Неоднозначность терминологии лп: понятия матрица и вектор условий задачи лп, опорный план и оптимальный план задачи лп.
- •19. Идеи и принципиальные соображения, лежащие в основе конечных методов решения задач лп.
- •20. Элементарное преобразование базиса.
- •21. «Симплекс-таблица» и алгоритм ее построения.
- •22.Прямо и двойственно допустимые «симплекс-таблицы». Правило преобразование «симплекс-таблицы».
- •23. Достаточное условие оптимальности базисного решения задачи лп, основанное на характеристике «симплекс-таблицы».
- •24. Прямой «симплекс-метод» для решения задач лп и его обоснования.
- •25. Выбор столбца для ввода (вывода) в базис (из базиса) и неоднозначность данного выбора. Обоснования этих выборов.
- •26. Уточняющие правила, устраняющие возникающую неоднозначность при выборе ведущего столбца и/или ведущей строки: частичное или полное уточняющие правила Данцинга и Блэнда.
- •27. Рекуррентные соотношения алгоритма прямого «симплекс-метода» (связь между параметрами последовательных итераций).
- •28. Вопрос конечности алгоритма «симплекс-метода».
- •29. Проблема зацикливания алгоритма прямого «симплекс-метода».
- •30. Вырожденное базисное допустимое решение и вырожденная задача лп.
- •31. Возврат к пройденной угловой точке множества допустимых решений при преобразовании «симплекс-таблицы». Пути выхода из зацикливания в случае вырожденности задачи лп.
1. Цель и задачи курса «Методы оптимальных решений».
Цель дисциплины -
1. Получение знаний и формирование основных навыков по методам
оптимизации и принятия решений при работе над прикладными
финансого-экономическими задачами.
2. Развитие теоретико-практической базы и формирование уровня
математической подготовки, необходимых для понимания основных идей
применения оптимизационных методов в экономике и финансах.
Задача дисциплины –
В результате изучения дисциплины «Методы оптимальных реше-
ний» студенты должны владеть основными математическими понятиями
дисциплины; уметь использовать математические методы оптимизации
для решения теоретических и прикладных задач экономики и финансов,
уметь решать типовые задачи, иметь навыки работы со специальной мате-
матической литературой.
2. Классификация и специфика задач математического программирования (мп).
Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности. В математическом программировании можно выделить два направления.
К первому, уже вполне сложившемуся направлению – собственно математическому программированию – относятся детерминированные задачи, предполагающие, что вся исходная информация является полностью определенной.
Ко второму направлению – так называемому стохастическому программированию – относятся задачи, в которых исходная информация содержит элементы неопределенности, либо когда некоторые параметры задачи носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками. Так, планирование производственной деятельности зачастую производится в условиях неполной информации о реальной ситуации, в которой будет выполняться план. Или, скажем, когда экстремальная задача моделирует работу автоматических устройств, которая сопровождается случайными помехами. Заметим, что одна из главных трудностей стохастического программирования состоит в самой постановке задач, главным образом из-за сложности анализа исходной информации.
Традиционно в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.
Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В свою очередь в линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы их решения, выгодно отличающиеся от методов решения задач общего характера. Так, в линейном программировании появился раздел транспортных задач.
Нелинейное программирование – целевая функция и ограничения нелинейны:
Выпуклое программирование – целевая функция выпукла (если рассматривается задача ее минимизации) и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача.
Квадратичное программирование – целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.
Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т. е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, – с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий. Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения.