Примеры решения задач

Задача № 1

В сосуде объёмом V = 1 л находится углекислый газ массой m = 0,2 г. При температуре T =2600 K некоторая часть молекул диссоциировала на молекулы кислорода и окиси углерода. При этом давление газа в сосуде оказалось равным 108 кПа. Определить какая часть молекул диссоциировала.

Дано: V = 1 л m = 0,2 г Т=2600 К Р=108 кПа

α -?

Решение:

Рассмотрим уравнение диссоциации углекислого газа

Таким образом, каждый моль углекислого газа, распадаясь вызывает появление одного моля окисла углерода и половину моля кислорода. В результате распада части молекул в сосуде будут находиться три газа: CO₂, CO, O₂. По закону Дальтона найдём выражение для давления, создаваемого данной смесью газов

.

Введём степень диссоциации - отношение числа молей распавшихся молекул к начальному числу молей вещества . Тогда число молей CO₂

,

число молей CO ,

число молей O₂ (с учётом уравнения реакции) .

Из уравнения Менделеева–Клапейрона

, , .

Общее давление будет связано со степенью диссоциации уравнением

.

Так как ( = 44·10^-3 кг/моль – молярная масса CO₂) , то . Выражая и производя расчет, получим .

Ответ: степень диссоциации газа  = 0,2.

Задача № 2

Используя функцию распределения Максвелла по скоростям, найдите наиболее вероятное значение кинетической энергии атомов гелия, который при давлении P = 10⁵ Па имеет плотность =160 г/м³.

Дано: p = 105 Па г/м3

-?

Решение:

Запишем функцию распределения Максвелла по скоростям.

.

Поскольку нужно найти наиболее вероятное значение энергии, имеет смысл перейти от распределения по скоростям к распределению по энергиям f(). По смыслу функции распределения относительное число молекул скорости которых лежат в интервале скоростей , которому соответствует интервал энергий , равно

.

Из данного выражения можно получить соотношение связывающее две функции распределения: . Из формулы видно: для перехода от распределения по скоростям к распределению по энергиям недостаточно просто выразить скорость через энергию. Поскольку , , то производная , и выражения для распределения по энергиям будет иметь вид.

.

Наиболее вероятное значение энергии соответствует максимуму функции распределения. Соответственно производная должна быть равна нулю:

, ,

, .

Обращаем внимание, что выражение для наиболее вероятной энергии нельзя получить подставив в формулу выражения для наиболее вероятной скорости (в этом случае получилось бы ).

Из уравнения МенделееваКлапейрона следует, что , значит

(в последней формуле учтено, что R = N_A·k). Подставляя данные из условия и молярную массу гелия = 4·10^-3 кг/моль, получим Дж.

Ответ: наиболее вероятное значение кинетической энергии атома гелия Дж.

Задача № 3

Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой = 50 Гц. Радиус ротора a = 0,5 м. Определить давление газа на стенку ротора, если в его центре давление p₀ = 10⁵ Па. Температуру по всему объёму считать постоянной, равной Т=300 К.

Дано: = 50 Гц a = 0,5 м. p0= 105 Па. Т=300 К.

p -?

Р ешение:

Рассмотрим находящийся в центрифуге цилиндрический слой воздуха бесконечно малой толщины dr, такой, что можно считать, что все молекулы данного слоя находятся на одинаковом расстоянии r от оси вращения.

Запишем для данного слоя второй закон Ньютона :

F = ma

Под силой F в данном случае нужно понимать разность сил давления действующих с внешней и внутренней стороны слоя

F = ((p+dp)-p)2r h = dp 2r h,

где произведение 2r h даёт площадь боковой поверхности слоя воздуха. Массу данного слоя можно получить, умножив плотность воздуха  на объём слоя dV = 2r dr h; m = dV =2r dr h. Все молекулы данного слоя вовлечены во вращательные движения с угловой скоростью и находятся на одинаковом расстоянии r от оси вращения, следовательно, обладают одинаковым нормальным ускорением . Объединяя выражения, получим

dp =dr·

(в правой и левой части сокращён одинаковый множитель 2r h). Из уравнения Менделеева–Клапейрона следует . Подставляя в предыдущее выражение и разделяя переменные, получим .

Проинтегрируем полученное уравнение:

где А - некоторая постоянная интегрирования. Представим её в виде натурального логарифма от некоторой другой постоянной С:A = ln C. Тогда

или .

По условию задачи на оси центрифуги давление должно быть p₀, это возможно только в случае, когда C= p₀. Заменяя C на p₀, определим давление как функцию расстояния до оси вращения:

.

Вспоминая, что , получим расчетную формулу для давления

.

Подставляя в последнюю формулу r = a = 0,5 м и молярную массу радона

= 0,222 кг/моль, вычислим давление газа на стенку центрифуги p = 3 10⁵ Па.

Ответ: давление на стенку ротора p₀ =3 10⁵ Па.

Задача № 4

Стальной стержень длиной ℓ = 20 см с площадью поперечного сечения S = 3 см² нагревается с одного конца до температуры t₁ = 300⁰С, а другим концом упирается в лёд. Предполагая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь через стенки), подсчитать массу льда, растаявшего за время t = 10 мин. Теплопроводность стали  = 60 Вт/(м∙К).

Дано: t1 = 3000С S = 3см2 t2 = 00С ℓ = 20см. = 10мин. = 60 Вт/м∙К

m -?

Решение:

Найдём количество теплоты полученное льдом. Для этого запишем уравнение теплопроводности.

.

Считая, что поток тепла не изменяется со временем и постоянен в пределах сечения стержня, данную формулу можно записать в виде

.

Производная представляет собой градиент температуры в стержне. Так как длина стержня равна ℓ, а разность температур на его концах t₁-t₂, можно произвести замену . Знак минус в выражении Q можно не учитывать, так как он показывает, что направление переноса теплоты противоположно направлению возрастания температуры. С учётом этого количество теплоты получённое льдом:

.

Так как всё это количество теплоты идёт на плавление льда, Q = m ( = 3,310⁵ Дж/кг – удельная теплота плавления льда). Объединяя выражения и производя расчеты получим

Ответ: масса растаявшего льда m = 0,049 кг = 49 г.

Задача № 5

В результате некоторого процесса вязкость некоторого идеального газа увеличилась в раза, а коэффициент диффузии – в раза. Во сколько раз увеличилось давление газа.

Дано: =

-?

Решение:

Согласно молекулярно кинетической теории,

, ,

где  средняя длина свободного пробега, - средняя скорость движения молекул, =m₀n- плотность газа.

По основному уравнению МКТ , поэтому . Подставим в выражение для  значения , и , тогда

;

Из формул видно, что ~, значит, . Для того чтобы найти отношение , свяжем между собой и D. Из формул видно, что . Отсюда , а отношение . В итоге получаем отношение давлений .

Ответ: давление возрастет в два раза.

Задачи, рекомендуемые для аудиторных занятий

1. 12 г газа занимают объем 4 дм³ при температуре 7⁰С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 0,6 мг/см³. До какой температуры нагрели газ?

Ответ: до 1400 К.

2. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 10⁰С и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.

Ответ: 4,6 г/моль; 12 дм³.

3. В двух сосудах емкостями 3 и 4 л находится газ под давлениями 0,2 и 0,1 МПа соответственно. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если соединить сосуды трубкой?

Ответ: 140 кПа.

4. В баллоне емкостью 150 см³ содержится газ при температуре 30 ⁰С. Вследствие утечки из колбы вышло 4∙10¹⁸ молекул. Определить, на сколько понизилось при этом давление газа?

Ответ: 112 Па.

5. Плотность некоторого газа равна 6∙10^-2 кг/м³, средняя квадратичная скорость молекул этого газа равна 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.

Ответ: 5 кПа.

6. В баллоне емкостью 5 л находится 25∙10²¹ молекул азота. Найти среднюю квадратичную скорость его молекул, если давление в баллоне P = 720 мм рт.ст.

Ответ: 1100 м/с.

7. Найти число молекул азота в 1 см³ при нормальных условиях и обладающих скоростью: а) между 99 м/с и 101 м/с; б) между 499 м/с и 501 м/с.

Ответ: 8,6∙10¹⁸; 4,9∙10¹⁹.

8. Найти для газообразного азота температуру, при которой скоростям молекул υ₁ = 300 и υ₂ = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.

Ответ: 330 К.

9. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t = 0⁰С.

Ответ: 5,5 км.

10. Вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуре 17 ⁰С и нормальном давлении. Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 3∙10^-8 см.

Ответ: 10^-7 м.

11. Определить среднее число всех столкновений между молекулами, которые происходят в течение 1 с в 1 см³ кислорода при температуре 17 ⁰С и давлении 5 мм рт. ст. Эффективный диаметр молекулы кислорода 2,9∙10^-8 см.

Ответ: 2,27∙10²⁴.

12. Найти среднюю длину свободного пробега азота, если его динамическая вязкость 17 мкПас, d = 0,3 нм.

Ответ: 0,09 нм.

13. Найти коэффициент теплопроводности воздуха при температуре 10 ⁰С и давлении 100 кПа, если диаметр молекулы воздуха принять равным 0,3 нм.

Ответ: 13 мВт/(мּК).

14. Вычислить коэффициент диффузии и динамическую вязкость азота при давлении 0,1 МПа и температуре 7 ⁰С.

Ответ:14ּ10^-6 м²/с и 17ּ10^-6 Паּс.