4. Определение необходимой численности выборки

При разработке программы выборочного обследования одним из наиболее сложных является вопрос о том, сколько единиц изучаемой совокупности необходимо обследовать, т.е. об объеме выборки. В параграфах 2 и 3 показано, что при любом способе отбора предельная ошибка выборки обратно пропорциональна числу обследованных единиц. Чтобы уменьшить ошибку выборки, необходимо увеличить ее объем, но при этом возрастут и затраты на проведение обследования. Определяя необходимую численность выборочной совокупности, приходится прежде всего оценивать допустимую ошибку.

Как определить необходимую численность выборки при собственно случайном или механическом повторном отборе? В этом случае предельная ошибка выборки для средней

,

а необходимая ее численность

. (4.1)

Для определения необходимой численности выборки должны быть заданы предельная ее ошибка и вероятность того, что эта ошибка не превысит заданного предела. В соответствии с этой вероятностью по таблице Приложения 1 находят коэффициент доверия t.

Наиболее сложно определить дисперсию изучаемого признака в генеральной совокупности. До проведения обследования приближенно оценить дисперсию или среднее квадратическое отклонение можно на следующей основе:

• исходя из результатов специально организованного пробного обследования;

опираясь на данные предыдущих обследований, как выборочных, так и сплошных. В последние годы в статистической практике все чаще вместо сплошного наблюдения применяют выборочный метод. Например, с 1996 г. проводят выборочное наблюдение за деятельностью малых предприятий. Таким образом, дисперсию изучаемого признака в выборке можно оценить, зная коэффициент вариации, значение которого получено по итогам предшествующего сплошного наблюдения или предшествующей выборки. Коэффициент вариации . Следовательно, дисперсия ;

• исходя из закона распределения изучаемого признака в генеральной совокупности.

Если распределение близко к нормальному, то размах вариации R в 6 раз больше среднего квадратического отклонения: R = 6σ, где R = xmax — xmin. В таком случае, зная максимальное и минимальное значения признака, можно оценить σ:

.

Если в результате выборочного обследования необходимо установить долю единиц, обладающих определенным значением альтернативного признака, то дисперсия для доли будет равна pq, В этом случае формула необходимой численности выборки примет вид

. (4.2)

Максимальное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25, т.е. max (pq) = 0,25 (при р = q = 0,5). Если доля единиц, обладающих изучаемым признаком, т.е. р, неизвестна, в расчете необходимой численности выборки можно использовать указанное максимальное значение для дисперсии альтернативного признака.

На практике величина допустимой ошибки выборки, как правило, устанавливается не в абсолютном, а в относительном выражении: Так как , формулу для определения необходимой численности выборки при собственно случайном или механическом повторном отборе можно представить следующим образом:

. (4.3)

Пример. Для изучения товарооборота по выделенной товарной группе планируется провести выборочное обследование торговых предприятий региона. Сколько предприятий розничной торговли необходимо обследовать, если по данным предшествующего обследования известно, что коэффициент вариации товарооборота по данной группе товаров составляет 90%, а предельная относительная ошибка выборки с вероятностью 0,95 не должна превысить 5%?

При Р = 0,95 коэффициент доверия t = 1,96 (см. Приложение 1). Следовательно, , т.е. при повторном отборе необходимо обследовать 1245 торговых предприятий.

Рассмотрим формулы для нахождения необходимой численности выборки при бесповторном отборе.

Предельная ошибка выборки при собственно случайном или механическом бесповторном отборе рассчитывается по формуле , поэтому необходимая для достижения заданной ошибки численность выборки

. (4.4)

Если задана предельная относительная ошибка выборки и известен коэффициент вариации, то численность выборки определяется по формуле

(4.5)

При бесповторном отборе для нахождения доли альтернативного признака необходимая численность выборки

(4.6)

Пример. Исходя из условия предыдущего примера, но зная, что общее число торговых предприятий, осуществляющих продажу товаров изучаемой группы, составляет 15 тыс. единиц, объем выборки при бесповторном отборе рассчитывают следующим образом:

единиц,

т.е. выборка должна быть 8-процентной.

Как правило, цель выборочного обследования — определить пределы, в которых находится в генеральной совокупности не один, а несколько показателей. В таком случае дисперсия для каждого из них будет различна, соответственно будет различаться и необходимая численность выборки. Число обследуемых единиц будет максимальным при изучении показателя с максимальной дисперсией. Соответственно, и необходимая численность выборки должна быть принята на максимальном уровне из всех рассчитанных.

В табл. 4.1 приведены формулы для нахождения необходимой численности выборки при разных способах отбора, где – средняя из групповых дисперсий в генеральной совокупности, – межсерийная дисперсия в генеральной совокупности, – межсерийная дисперсия для доли в генеральной совокупности.

Значения величин , и устанавливаются так же, как и дисперсия при собственно случайном отборе. Если их оценка основана на данных пробных выборок, то в соответствующих формулах вместо генеральных характеристик необходимо использовать выборочные.

Таким образом, формула предельной ошибки выборки используется не только для оценки пределов, в которых находится изучаемый признак в генеральной совокупности, но и для определения необходимого объема выборки при заданной ее ошибке. Третий тип задач, которые могут быть решены с использованием предельной ошибки выборки, — это определение вероятности, с которой можно гарантировать, что ошибка выборки не выйдет за заданные пределы.

Таблица 4.1

Формулы для нахождения необходимой численности выборки при разных способах отбора

Способ отбора	Оцениваемый параметр	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно случайный и механический	Средняя
	Доля
Типический	Средняя
	Доля
Серийный	Средняя
	Доля

Примечание. При серийном отборе на основе приведенных формул определяется число серий, которое необходимо обследовать, так как они являются единицей наблюдения приданном способе отбора.

Пример. При проведении 10-процентного выборочного обследования предприятий оптовой торговли одного из регионов было установлено, что в среднем на одно предприятие приходилось 16 работников при среднем квадратическом отклонении 12 человек. Обследовано 100 предприятий. С какой вероятностью можно утверждать, что относительная предельная ошибка выборки не превысит 5%?

Так как , то Средняя ошибка при проведении обследования

Коэффициент Доверия

По таблице значений интеграла вероятностей Лапласа (см. Приложение 1) находим: при t=0,7 вероятность Р= 0,516. Следовательно, с вероятностью 0,516 можно гарантировать, что в результате проведенного обследования относительная предельная ошибка выборки не превысит 5%.