Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс
Асимметрия и эксцесс являются важнейшими характеристиками формы распределения.
Ряды распределения могут иметь один и тот же центр группирования (показатели центра распределения) и одинаковые пределы варьирования признака (показатели вариации), однако при этом отличаться характером распределения единиц совокупности вокруг центра.
Для оценки степени асимметричности применяют моментный и структурный коэффициенты асимметрии.
Моментный коэффициент асимметрии (стандартизованный момент третьего порядка) определяется по формуле:
где М3 – центральный момент третьего порядка.
На направление асимметрии указывает знак коэффициента: если он отрицательный, то это левосторонняя асимметрия, при правосторонней асимметрии знак положителен.
Степень существенности асимметрии можно оценить с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, которая зависит от объема изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:
,
Основной недостаток моментного коэффициента асимметрии заключается в том, что его величина зависит от наличия в совокупности резко выделяющихся единиц. Для таких совокупностей этот коэффициент малопригоден, поскольку его большая (абсолютная) величина будет объяснятся доминирующим вкладом в величину центрального момента третьего порядка нетипичных значений, а не асимметричностью распределения основной части единиц. В таких случаях рекомендуют либо исключить из анализа резко отличающиеся единицы, либо использовать структурные показатели асимметрии.
Структурные показатели (коэффициенты) асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т. е. основной массы единицы, и в отличие от моментного коэффициента не зависят от крайних значений признака.
Наиболее часто применяют структурный коэффициент асимметрии, предложенный английским статистиком К. Пирсоном:
.
Другим свойством рядов распределения является эксцесс. Под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Другими словами, эксцесс – это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. При этом эксцесс определяется только для симметричных и умеренно ассиметричных распределений.
Чаще всего на практике эксцесс оценивается с помощью следующего показателя:
,
где М4 – центральный момент четвертого порядка.
Формула эксцесс
основана на отклонение от нормального
распределения (в нормальном распределении
отношение М4:
=3).
Положительный эксцесс свидетельствует о том, что в совокупности есть слабоварьирующее по данному признаку "ядро", а в плосковершинных распределениях такого "ядра" нет и единицы рассеян по всем значениям признака более равномерно.
Чтобы оценить существенность эксцесса распределения, рассчитывают среднюю квадратическую ошибку эксцесса:
.
Список использованной литературы
Акулич М. В. Статистика в таблицах, формулах и схемах. – СПб.: Питер, 2009. – 128 с.
Статистика: учеб. / И. И. Елисеева. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. – 448 с.
Статистика: учебник / Н. В. Толстик, Н. М. Матегорина. – Изд. 4-е, дополн. и перераб. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 344 с.
www.aup.ru
www.chaliev.narod.ru
www.hi-edu.ru
www.markeloff.ru
Курс лекций по Статистике.
Р аздел «Теория статистики»