Виды и формы средних величин
Значение средней зависит от того, каков порядок ее расчета. Средние применяются двух форм: простые и взвешенные.
Простая средняя получается путем деления суммы значений на количество:
.
Пример. Заработная плата на январь у 3 рабочих одного цеха составила: 6500 руб., 4955 руб., 5323 руб.
Средняя заработная плата за месяц составит:
руб.
Такая средняя называется средней арифметической.
Характер данных может повлиять на порядок расчета средней.
Пример. По каждому из 3 рабочих, которые делают одну и ту же операцию, известно следующие:
Таблица 1.2.1
Рабочие |
Число деталей, изготовленных за 1 ч. работы |
Количество отработанных часов за месяц |
1-й |
15 |
140 |
2-й |
11 |
105 |
3-й |
14 |
120 |
Тогда:
дет./ч.
Таким образом, в расчете средней часовой выработки рабочих участвовали не только данные о часовой выработке каждого из них, но и количество отработанных часов.
Проделанный расчет средней можно записать в виде формулы:
,
где
- часовая выработка i-го
рабочего; 
- количество часов, отработанных i-м
рабочим за месяц.
Такая средняя называется арифметической взвешенной. В данном примере (часовая выработка) – осредняемый признак; (количество отработанных часов) – признак-вес. Умножая на , мы производим взвешивание, которое позволяет учесть значимость часовой выработки каждого рабочего дня расчета средней часовой выработки.
Представим, что мы не будем учитывать количество отработанных часов, и найдем среднюю выработку как простую арифметическую:
дет./ч.
т.е. результат хотя и незначительно, но отличается от того, который получен при использовании средней взвешенной.
Чем значительнее неравенство весов и чем сильнее признак-вес связан с осредняемым признаком, тем больше значение взвешенной средней отличается от простой средней.
Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.
Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.
Различают два вида случайных величин:
степенные средние;
структурные средние.
Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую и среднюю кубическую [4].
Вторая категория (структурные средние) - это мода, медиана, квартили и децили.
Введем следующие условные обозначения:
-
величины, для которых исчисляется
средняя;
- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
-
частота (повторяемость индивидуальных
значений признака).
Степенные средние
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
где 
-
среднее значение исследуемого явления;
k – показатель степени средней;
x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;
i –i-тый элемент совокупности;
n – число наблюдений (число единиц совокупности).
При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по виду средние величины. (Табл. 1.2.2):
Таблица 1.2.2
Виды степенных средних величин
Степень средней величины (k) |
Название средней |
-1 |
гармоническая |
0 |
геометрическая |
1 |
арифметическая |
2 |
квадратическая |
3 |
кубическая |