Все лекции / Лекция 9

Лекция № 9 (Задачи 57, 60а,б)

Определение линии пересечения поверхностей

методом концентрических сфер

Способ концентрических сфер применяется для определения линии пересечения двух поверхностей вращения, ри этом должны выполняться два условия:

1. Оси поверхностей вращения должны пересекаться;

2. Плоскость, в которой содержатся оси, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

В основу способа положена теорема:

Теорема 1 Две соосные поверхности вращения

пересекаются по окружностям число которых

равно числу точек пересечения главных полумеридианов.

Г,Σ – поверхности вращения.

Линии пересечения сферы и конуса

,

1,2 – точки принадлежащие линии пересечения так как ,

Определение линии пересечения поверхности вращения

с конусом методом концентрических сфер

Определение радиуса максимальной и минимальной сфер

посредников

A,B,C,D – экстремальные точки (точки пересечения очерков)

Радиус R_max максимальной сферы определяется расстоянием от точки пересечения осей до максимально удаленной экстремальной точки.

Минимальная сфера определяется сферой радиуса R_min которая касается одной поверхности и пересекает другую поверхность.

На сфере минимального радиуса находятся точки M, N, E и F принадлежащие линии пересечения, которые определяют характер её положения относительно заданных поверхностей.

План решения:

1. Определяем положения экстремальных точек A,B,C,D (точки пересечения очерков на фронтальной проекции);

2. Определяем радиус максимальной и минимальной сфер посредников;

3. Определяем положения экстремальных точек M,N,E,F на сфере минимального радиуса;

4. Определяем положения промежуточных точек 1,2,3,4 по следующему алгоритму. Строим посредник сферу :

 = q ^/, q ^//;

  Г = q ;

q  q ^/ = 1,2;

q q ^// = 3,4

5. Для определения горизонтальной проекции линии пересечения используем параллели конуса q;

6. Соединяем экстремальные и промежуточные точки и определяем видимые линии пересечения и очерков поверхностей.

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

Условимся в дальнейшем поверхности второго порядка называть квадриками, а кривые второго порядка кониками.

Теорема №2

Две квадрики в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка.

Теорема №3

Если две квадрики имеют общую конику, то они пересекаются еще по одной конике.

Теорема №4

Если две квадрики имеют две точки соприкосновения, то линия их пересечения распадается на две коники, проходящие через точки соприкосновения.

Теорема №5

Если две квадрики описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две коники.

Задача

Определить линию пересечения поверхностей

Пересечение поверхностей

(способ концентрических или эксцентрических сфер)

Вариант 1

Задание выполняется на листе формата А3 (лист располагается вертикально).

Масштаб-2,5:1

Задание: Построить линию пересечения двух заданных поверхностей способом концентрических или эксцентрических сфер. Исходные данные приведены ниже (масштаб 1:1).

Методика оформления и последовательность выполнения чертежа «Пересечение поверхностей»:

1. Построить фронтальные и горизонтальные проекции на вернем тонкими линиями.

2. Построить и обозначить все опорные точки.

3. Выполнить построения промежуточных точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей по следующему алгоритму:

• Провести сферу - посредник так, чтобы проекции линий пересечения её с поверхностями были простейшими (прямыми или окружностями).

• Построить линии пересечения сферы – посредника с исходными поверхностями;

• Определить и обозначить точки пересечения полученных линий, которые принадлежат линии пересечения поверхностей;

• Повторить построения минимум четыре раза

• Соединить полученные точки плавной кривой при помощи лекала.

• Определить видимость линии пересечения и очерков поверхностей на фронтальной и горизонтальной проекциях.