Физика / 19

Лекция №19 (Головкина)

Теоретические вопросы:

1. Что такое потенциальная яма?

2. Что такое одномерный потенциальный порог?

3. Что из себя представляет коэффициент прохождения?

4. Что такое волновая функция?

Тест:Начало формы

1. Потенциальная энергия U частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, удовлетворяет одному из условий:

1. U >0

2. U <0

3. U =0

2. Одномерное временное уравнение Шредингера:

1. iћ*= - *+UΨ

2. *(Е-U)Ψ=0

3. Е_n= n² (n=1, 2, 3, ….)

4. Ψ(x;у)= А*exp [ *(px-Et)]

3. Собственное значение энергии частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике:

1. *(Е-U)Ψ=0

2. Е_n= n² (n=1, 2, 3, ….)

3. Ψ(x;у)= А*exp [ *(px-Et)]

4. Ψ_n(x)=**x

4. Какая потенциальная ступень называется низкой:

1. если высота U₀ больше энергии Е частицы

2. если высота U₀ равна энергии Е частицы

3. если энергия Е частицы больше высоты U₀

4. если энергия Е равна 0

5. Какая потенциальная энергия называется высокой:

1. если энергия Е равна 0

2. если высота U0 равна энергии Е частицы

3. если энергия Е частицы больше высоты U0

4. если высота U0 больше энергии Е частицы

6. Чему равен коэффициент прохождения волн де Бройля:

1. ρ=

2. τ =

3. Ψ_n(x)=**x

4. iћ*= - *+UΨ

7. Чему равен коэффициент отражения волн де Бройля:

1. *(Е-U)Ψ=0

2. ρ=

3. Ψ(x;у)= А*exp [ *(px-Et)]

4. τ =

8. Чему равен коэффициент прозрачности прямоугольного потенциала ступени конечной ширины:

1. D ≈ exp(- )

2. τ=

3. Ψ_n(x)=**x

4. ρ=

9. Каким равенством определяется вероятность нахождения частицы в интервале х₁ < х < х₂ :

1. *(Е-U)Ψ=0

2. W =

3. D ≈ exp(- )

4. iћ*= - *+UΨ

10. Чему равна волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:

1. iћ*= - *+UΨ

2. D ≈ exp(- )

3. Ψ(x;у)= А*exp [ *(px-Et)]

4. W =

Задачи:

№1

Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Решение:

Вероятность W обнаружить частицу в интервале х₁ < х < х₂ определяется равенством

W = , (1)

где Ψ_n(x)- нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид

Ψ_n(x)=**x

Возбужденному состоянию (n=2) отвечает собственная функция

Ψ₂(x)=**x (2)

Подставив Ψ₂(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

W= xdx. (3)

Согласно условию задачи, х₁=l и х₂ = l. Подставим эти пределы интегрирования в формулу (3), произведем замену *x = (1-x) и разобьем интеграл на два:

W= xdx= ( - ) = ( - x _l/3 ^2l/3 )=

= - ( - ).

Заметив, что = , а = - , получим W= 0.195

Ответ: W= 0.195

№2

U(x)

Моноэнергетический поток электронов (Е=100 эВ) падает на низкую прямоугольную потенциальную ступень бесконечной ширины (Рис. 46.1). Определить высоту потенциальной ступени U0, если известно, что 4% падающих на ступень электронов отражается.

II

I

Рис. 46.1

U₀

x

Е

Низкая потенциальная ступень

Дано:

Е=100 эВ

4% отр-ся

U₀ = ?

Решение:

Коэффициент отражения ρ от низкой потенциальной ступени выражается формулой

ρ=

где К₁ и К₂ – волновые числа, отвечающие движению электронов в областях I и II (см. рис. 46.1)

В области I кинетическая энергия электрона Е равна и волновое число

К₁ =

Поскольку координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии.

В области II кинетическая энергия электрона равна E – U0 и волновое число

К₂ = .

Коэффициент отражения может быть записан в виде

ρ = ( )²

Разделим числитель и знаменатель дроби на :

ρ = ( )²

Решая уравнение относительно , получим

=

Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциальной ступени:

U₀ = ( 1- )² )*E

Подставив сюда значения величин и производя вычисления, найдем

U₀ = 55.6 эВ

Ответ: U₀ = 55.6 эВ