Тема III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (фнп)

Пространство . Открытые, замкнутые, ограниченные, неограниченные множества на плоскости.

Упорядоченная совокупность действительных чисел называется точкой - мерного пространства и обозначается . Числа называются координатами точки . В случаях, когда пространство допускает геометрическую интерпретацию: множество точек числовой оси ; - множество точек координатной плоскости , - множество точек координатного пространства .

При рассмотрении пространства предполагается, что для любых его двух точек и определено расстояние между ними.

Точки пространства (координатной плоскости) будем обозначать .

Расстояние⁸ в определяется по формуле: . Заметим, расстояние всегда неотрицательно, т.е. .

окрестностью точки называется множество точек, удовлетворяющих неравенству . Геометрически это круг с центром в точке и радиусом .

Рассмотрим некоторое множество (область) точек плоскости.

Внутренней точкой множества называется точка, которая принадлежит этому множеству вместе с некоторой окрестностью.

Граничной точкой множества называется такая точка, в любой окрестности которой есть точки, принадлежащие множеству и не принадлежащие ему.

На рис. 4 точка  внутренняя точка, а  граничная точка множества .

Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым. Если множество содержит все свои граничные точки, оно называется замкнутым.

Открытые множества в задаются строгими неравенствами, а замкнутые  нестрогими. Например, неравенство задает открытое множество точек плоскости выше параболы, и при этом сама парабола в это множество не входит. Неравенство задает замкнутое множество точек плоскости ниже параболы, но при этом парабола входит в это множество.

Множество называется ограниченным, если существует положительная , такая что расстояние от любой точки этого множества до начала координат . В противном случае множество называется неограниченным. На рис. 4 ограниченное множество, а неограниченное множество в .

Понятие функции нескольких переменных. Пусть дана область . Если любой точке ставится в соответствие определенное число , то говорят, на множестве задана функция двух переменных⁹. Множество называется областью определения этой функции.

Геометрически функция двух переменных задает поверхность в пространстве, проекцией которой на плоскость является область . См. рис. 5.

Пересечем поверхность плоскостью, параллельной плоскости , проходящей через точку перпендикулярно оси . Спроецируем линию пересечения на плоскость . Уравнение полученной линии имеет вид .

Эта линия называется линией уровня функции (поверхности) . Вдоль линии уровня значение функции остается неизменным и равным .

Для функций нескольких переменных, как и для функции одной переменной вводятся понятия предела, непрерывности, формулируются свойства непрерывных функций [1].

Понятие частных производных. Пусть дана функция 2-х переменных , определенная в .Частными приращениями по и по называются соответственно выражения: , .

Частной производной функции по переменной называется предел отношения частного приращения к приращению аргумента , если при условии, что этот предел существует. Таким образом,

, аналогично .

Для частных производных применяются также обозначения .

Градиент и производная по направлению.

Градиентом функции называется вектор , декартовыми координатами которого являются частные производные , т.е. .

Пусть вектор , составляющий с координатными осями и соответственно углы и , задает на плоскости некоторое направление. Производная функции по этому направлению в точке выражается формулой .

Производная по направлению показывает в данной точке скорость изменения функции по заданному направлению , а градиент  то направление, в котором эта скорость имеет наибольшее значение. Величина модуля градиента выражает наибольшую скорость изменения функции в данной точке, которую функция имеет в направлении градиента.

Частные производные высших порядков. Частные производные первого порядка функции нескольких переменных обычно зависят от тех же переменных, что и сама функция. Поэтому их также можно дифференцировать по каждой из переменных. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка заданной функции. Например, функция двух переменных имеет четыре частные производные второго порядка:

, , , .

Частные производные второго порядка можно обозначать ещё и так: , , , .

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Среди частных производных есть производные по разноименным переменным, их называют смешанными производными. Среди смешанных производных есть такие, которые отличаются только очередностью дифференцирования. Смешанные производные одного порядка, если они являются непрерывными функциями, отличающиеся только очередностью дифференцирования, равны между собой.

Понятие экстремума функции нескольких переменных.

Пусть функция непрерывна в окрестности точки , включая саму эту точку. Точка , называется точкой локального¹⁰ максимума (минимума) функции, , если для всех точек , достаточно близких к , выполняется неравенство

.

Необходимое условие экстремума. В точке локального экстремума все частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.

Точки, в которых все частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, но при этом функция сохраняет непрерывность, называются критическим точками (подозрительными на экстремум).

Заметим, что всякая точка локального экстремума является критической. Но не в каждой критической точке функция имеет экстремум. Решить вопрос о наличии экстремума в критической точке можно с помощью следующего достаточного условия.

Достаточное условие экстремума. Пусть критическая точка функции . В этой точке и некоторой её окрестности функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим

,  дискриминант.

Тогда

1. если , то функция имеет экстремум в точке , причём при максимум, а при минимум;

2. если , то в точке экстремума у функции нет;

3. если , то для решения вопроса о наличии экстремума нужны дополнительные исследования.