Теория (кратко) Оглавление

Тема I. Предел и непрерывность функции одной 2

переменной 2

Тема II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 12

Тема III. Дифференциальное исчисление функции 20

нескольких переменных (ФНП) 20

Тема I. Предел и непрерывность функции одной переменной

Понятие функции одной переменной. Пусть даны два непустых множества действительных чисел и . Если каждому по правилу ставится в соответствие определенное число , то говорят, что на множестве задана функция или отображение . Переменная называется независимой переменной или аргументом функции. Переменная называется зависимой переменной или функцией.

Множество называется областью определения функции; множество - областью значений.

Способы задания функций: аналитический (формульный), табличный, графический.

Основные элементарные функции: степенная функция ; показательная функция ; логарифмическая функция ; тригонометрические функции: , , , ; обратные тригонометрические функции: , , , .

Свойства ограниченности и монотонности функции. Функция называется ограниченной на множестве , если существует положительное число , такое что для всех выполняется неравенство .

Последнее неравенство можно переписать в виде , откуда видно, что ограниченная функция является ограниченной снизу и сверху.

Могут быть функции, которые ограничены только сверху или только снизу. Например, функция ограничена только сверху, а функция  ограничена только снизу.

Функция называется строго¹ возрастающей (убывающей) в области , если большему значению аргумента в этой области соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. : ².

Промежутки возрастания или убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Понятие сложной функции (суперпозиции функций). Пусть в области определена функция , а в области определена функция , причем множество значений функции вложено в область определения функции , тогда в области определена сложная функция , а переменная называется ее промежуточным аргументом.

Сложную функцию называют иначе суперпозицией функций и и обозначают .

Понятие обратной функции. Пусть в области определена функция , а в области определена функция , причем множество значений функции совпадает с областью определения функции и обратно: множество значений функции совпадает с областью определения функции . Кроме того выполняются равенства:

и ,

тогда функции , называются взаимно обратными.

Графики функций , симметричны относительно биссектрисы первоготретьего квадрантов.

Понятие предела последовательности. Функция натурального аргумента , где , называется числовой последовательностью. Обозначается .

Число называется пределом последовательности , если для любого произвольного малого положительного числа существует зависящее от него число , такое что для всех чисел , выполняется неравенство . Обозначается или при .

Используя символический язык, это определение можно записать следующим образом:

: ³.

Заметим, что числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема. Возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Убывающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Число как предел последовательности. Последовательность возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет предел, причем

.

Понятие предела функции в точке. Число называется пределом функции в точке (или при ), где некоторое конечное число, если для любого произвольного малого положительного числа существует зависящее от него положительное число , такое что для всех , удовлетворяющих условию , но , выполняется неравенство . Обозначают так: . См. Рис. 1. Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом

.

Неравенство иначе записывается как . и задает окрестность точки . См. Рис. 1.

Заметим, что функция не может иметь более одного предела в точке.

Односторонние пределы. Наряду с понятием предела используются также понятия односторонних пределов функции в точке.

Число ( ) называется соответственно правым (левым) пределом функции в точке , если для любого произвольного малого найдется положительное число , зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , т. е. близких к справа ( , т. е. близких к слева), выполняется неравенство: ( ). См. Рис. 2.

Правый (левый) предел функции обозначают так:

или

( или )

Отметим, что функция может иметь в точке односторонние пределы, но не иметь в этой же точке предела (Рис. 2).

Критерием существования предела функции в точке является следующая теорема о связи предела функции с ее односторонними пределами.

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой оба ее односторонних предела. Их общее значение и равно пределу функции в точке:

.

Если функция является непрерывной, а предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела сводится к простой подстановке в функцию предельного значения аргумента, т. е. к выполнению равенства .

Понятие бесконечно малой функции (величины). Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.) при , если , где может быть числом или одной из величин , + или -.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .

3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки является бесконечно малой функцией при .

4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.

Теорема. Для того, чтобы функция при имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки выполнялось условие , где (х) – бесконечно малая при .

Понятие бесконечно большой функции. Бесконечно большой называется величина, обратная к бесконечно малой. Если  б.м. при , то  бесконечно большая при . Для бесконечно большой величины выполняется .

В отличие от бесконечно малых, бесконечно большие величины могут не иметь предела, например, б.б. величина не имеет предела при .

Простейшие пределы:

, где .

Предел суммы, произведения и частного. В случае существования конечных пределов функций и справедливы равенства:

, , , ( ).

Случаи неопределенностей. В том случае, когда функции и являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при , при вычислении пределов , , могут возникнуть неопределенности, условно обозначаемые , ., которые не позволяют сразу дать однозначный ответ, чему равен предел. Для раскрытия неопределенностей применяют специальные методы.

Эквивалентность функций. Функции и называются эквивалентными при , обозначают ~ , если предел их отношения при равен 1, т.е. .

Пример. Многочлен при эквивалентен старшей степени многочлена:

~ при

Теорема. В пределе отношения или произведения функций каждую из функций можно заменять на эквивалентную ей функцию, т.е., если  и  при , то или

.

П ервый замечательный предел и таблица связанных c ним эквивалентностей.

Первый замечательным пределом называется следующий предел . Он позволяет раскрывать неопределенность вида при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции. Из первого замечательного предела вытекают следующие эквивалентности:

Е сли при , то

В торой замечательный предел и таблица связанных с ним эквивалентностей.

Вторым замечательным пределом называется следующий предел . Он позволяет раскрывать неопределенность вида . Из второго замечательного предела вытекают следующие эквивалентности:

Е сли при , то .

Непрерывность функции.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , включая саму эту точку, называется непрерывной в этой точке, если предел функции при существует и равен значению функции в точке : .

Это определение равносильно следующим равенствам: для непрерывной в точке функции односторонние пределы в точке существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке: . Это двойное равенство называется условием непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва.

Точка , в которой функция теряет свойство непрерывности, называется точкой разрыва этой функции.

Если оба односторонние предела и конечны, то точка называется точкой разрыва I рода или точкой конечного разрыва (Рис. 2). В этом случае абсолютную величину разности односторонних пределов называют скачком функции в точке . Если скачок функции в точке разрыва I-го рода равен нулю, то эту точку называют точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода. В частности, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то точку разрыва называют еще и точкой бесконечного разрыва.

Свойства непрерывных функций.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

Первая теорема Больцано⁴– Коши⁵. Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, для которой f(с) = 0.

Вторая теорема Больцано – Коши. Функция, непрерывная на отрезке [a, b] принимает на этом отрезке все промежуточные значения между двумя произвольными значениями, которые она принимает на этом отрезке.

Первая теорема Вейерштрасса, Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.

Вторая теорема Вейерштрасса⁶. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем m  f(x)  M.