Методы решения показательных уравнений. Методы решения показательных неравенств.
Методы решения показательных уравнений (как, впрочем, и всех других уравнений) сборника не выходят за рамки изложенных в основных школьных учебниках.
Основными методами решения показательных уравнений являются:
метод группировки и разложения на множители;
замена переменной.
Решение большинства показательных уравнений после некоторых преобразований сводится к решению одного или нескольких показательных уравнений вида af(x) = b или af(x) = ag(x) (a > 0; a № 1), последнее из которых равносильно уравнению f(x) = g(x). Заметим, что переход от уравнения af(x) = ag(x) к равносильному ему уравнению f(x) = g(x) может быть объяснен различными способами. Впрочем, ученик вправе не объяснять этот переход вовсе, особенно в тех случаях, когда рассматриваемое уравнение получено в результате преобразований более сложного уравнения, и уж тем более, когда уравнение решается с помощью равносильных преобразований. В любом случае отсутствие такого объяснения едва ли следует считать недочетом. По крайней мере, его отсутствие более естественно, чем "объяснение" вроде "функция 2t возрастает, потому что 2>1", сплошь и рядом встречающееся в медальных работах.
Как уже отмечалось, одним из наиболее распространенных методов решения уравнений (в том числе и показательных) является метод замены переменной, позволяющий свести то или иное уравнение к алгебраическому (как правило, квадратному) уравнению. Так, уравнение a ·l2x + b ·lx + c = 0 сводится к квадратному уравнению заменой y = lx, y > 0. Для решения однородного уравнения вида p ·a2x + q ·(ab)x + r ·b2x = 0 нужно обе его части разделить на b2x (заметим, что по свойству показательной функции b2x № 0 ни при каких x). После деления получится уравнение
Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве возрастания (убывания) показательной функции: если основание показательной функции больше единицы, то показательная функция возрастает на R , то есть большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Если основание показательной функции больше нуля, но меньше единицы, то показательная функция убывает на R, то есть большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, а меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Методы решения логарифмических уравнений. Методы решения логарифмических неравенств.
Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические
сведения:
Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования. Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.
Неравенства вида logax>b (logax³b) или logax<b (logax£b), где a>0, a¹1, называются простейшими логарифмическими неравенствами.
· Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что
o при основании, большем единицы, логарифмическая функция возрастает,
o при положительном основании, меньшем единицы, логарифмическая функция убывает.
· Неравенство вида
эквивалентно следующим системам неравенств[1]
o при a>1 f(x)>0, f(x)>ab;
o при 0<a<1 f(x)>0, f(x)<ab.
· Неравенство вида
эквивалентно следующим системам неравенств
o при a>1 f(x)>0, f(x)<ab;
o при 0<a<1 f(x)>0, f(x)>ab.
Пример. Решить неравенство log8(x2-4x+3)<1.
Решение. Так как основание логарифма больше единицы (а=8), то данное неравенство эквивалентно системе:
или 
.
Каждое неравенство решим методом интервалов.
х2-4x+3=0 при х1=1, х2=3. Определяя знаки, получим:
х2-4x-5=0 при х1=-1, х2=5. Определяя знаки, получим
Совмещая промежутки, имеем:
Таким
образом, 
.
Ответ: 
.
· Неравенство вида
эквивалентно следующим системам неравенств:
o при a>1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)>g(x);
o при 0<a<1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g(x).
· Неравенство вида
эквивалентно следующим системам неравенств
o при a>1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g(x);
o при 0<a<1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)>g(x).
Пример. Решить неравенство:
.
Решение. Основание логарифмической функции меньше 1 (a=0,2). Поэтому, выписывая области определения выражений левой и правой частей неравенства и пользуясь свойством монотонности, получим равносильную систему:
.
Решение неравенств второй степени методом интервалов:
Совмещая промежутки, получим:
Ответ: (-2;1).
· Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить неравенство:
.
Решение. Переходя к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства, получим:
Теперь перейдем к равносильной системе:
Решение встречающихся квадратичных неравенств провели методом интервалов:
Совмещая
промежутки, получим 
.
Ответ: (0; 2).
Пример
2. Решить неравенство 
.
Решение. Так как выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства положительны, то для решения прологарифмируем обе части по основанию 10. Получим равносильное исходному неравенство:
,
или, пользуясь свойствами логарифмов
.
Обозначая t=lg x, решим неравенство t2-1>0:
то есть t<-1 или t>1.
Решая неравенства lg x<-1, а также lg x>1, имеем соответственно:
.
.
Ответ: (0; 0,1)È(10;+¥).
· Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая:
o когда основание больше 1
o когда основание положительно, но меньше 1.
· Неравенство с переменным основанием можно также решать, используя формулы перехода к новому, не содержащему неизвестное, основанию.
Пример. Решить неравенство logx-3(x2-4x+3)<0.
Решение. Так как основание логарифма содержит переменную, то рассмотрим два случая x-3>1 и 0<x-3<1.
Если основание логарифма больше одного, то пользуясь свойством монотонности с учетом ОДЗ, получим:
Решая неравенства методом интервалов, получим:
Совмещаем промежутки и убеждаемся, что данная система не имеет решений.
Рассмотрим второй случай, если 0<x-3<1. В этом случае получаем систему:
Совмещая промежутки, получаем:
Ответ: 
[1] В случае, если неравенство нестрогое, вторые неравенства этих систем также нестрогие.