27. Простейшие квадратичные неравенства. Неравенства, приводящиеся к квадратным.

Квадратичное неравенство. Квадратичным неравенством называется неравенство вида f(x) 0, где f(x)=ax2+bx+c и a =0 .

Замечание. Знак   подразумевает один из знаков:   .

Пусть D=b2−4ac и x1 x2 - корни f(x).

Теорема 1. Если a 0  и D 0 , то для всехx выполняется неравенство f(x) 0	Теорема 2. Если a 0  и D 0 , то для всехx выполняется неравенство f(x) 0

Теорема 3. Если a 0  и D 0 , то для всех x x1;x2   выполняется неравенство f(x) 0 , а для всех x − ;x1 x2;+   выполняется неравенство f(x) 0 .

Теорема 4. Если a 0  и D 0 , то для всех x x1;x2   выполняется неравенство f(x) 0 , а для всех x − ;x1 x2;+   выполняется неравенство f(x) 0 .

Теорема 5. Если a 0  и D = 0 , то для всех x =−b2a  выполняется неравенство f(x) 0	Теорема 6. Если a 0  и D = 0 , то для всех x =−b2a  выполняется неравенство f(x) 0

При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратнымнеравенствам, поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.

Примеры.

Решить неравенство:

1) (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.

Сделаем замену: пусть (0,5)х=у. Получаем неравенство:

у2+2<3y или y2-3y+2<0.

Разложим квадратный трехчлен y2-3y+2 на линейные множители по формуле:

ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Находим корни приведенного квадратного уравнения y2-3y+2=0. Дискриминант D=b2-4ac=32-4∙1∙2=9-8=1=12. Так как дискриминант является полным квадратом, то применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

у1+у2=3, у1∙у2=2. Отсюда: у1=1, у2=2. Значит, y2-3y+2=(у-1)(у-2).

Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)хє(1; 2).

(0,5)х=1 → (0,5)х=(0,5)0 → х=0.

(0,5)х=2 → (1/2)x=2 → 2— x=21 → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

2) 9x-1<3x-1+6.

Представим 9х-1 в виде степени числа 3.

32 (x-1)<3x-1+6. Сделаем замену: 3х-1=у. Тогда получается квадратное неравенство: у2<y+6. Переносим слагаемые в левую часть.

у2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у2-у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни  являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b2-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=52. Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у1+у2=1, у1∙у2=-6. Подходят значения: у1=-2и у2=3.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:

(у+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.

ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:

3х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3х-1 принимать не может, то запишем: 3х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.

3х-1→0 при х-1 → -∞, так как число 3  в степени, стремящейся к минус бесконечности, фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.

Далее, 3х-1=3 → 3х-1=31 → х-1=1 → х=2.

Получили хє(-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).

28. Иррациональные уравнения. Основные типы простейших иррациональных неравенств.

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называютсяиррациональными уравнениями. Например

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

Пример 1. Решить уравнения

Решение. a) Заметим, что при любом допустимом значении x левая часть уравнения неотрицательна, а его правая часть отрицательна, следовательно уравнение не имеет решений.

b) Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если они одновременно равны нулю, следовательно уравнение равносильно системе

	x - 2 = 0,
	x + 2 = 0,

которая противоречива. Следовательно и исходное уравнение не имеет решений.

c) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется из системы

	3 - x ≥ 0,
	x - 5 ≥ 0.

Поскольку система противоречива, ОДЗ данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

d) ОДЗ данного уравнения x = 4, определяется из системы

Поскольку x = 4 есть единственное допустимое значение, достаточно проверить, является ли оно решением уравнения. Подставив x = 4 в уравнение получим верное числовое равенство 0 = 0 и, следовательно, x = 4 есть единственное решение данного уравнения.

e) Множество допустимых значений этого уравнения имеет вид x О [2;4]. Это множество определяется из системы неравенств

	x - 2 ≥ 0,
	x + 7 ≥ 0,
	4 - x ≥ 0.

Заметим, что на ОДЗ имеет место неравенство  , и поскольку  , следовательно данное уравнение не имеет решений.

f)

(4x2 - 9)  = 0   Ы

4x2-9 = 0,  = 0, x ≥ 1,

Ы

x = -3/2, x = 3/2, x = 1, x ≥ 1,

Ы

x = 3/2, x = 1.

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Подчеркнем что если n нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и (f(x))n = (g(x))n равносильны, а если n четное натуральное число, то уравнение (f(x))n = (g(x))n есть следствие уравнения f(x) = g(x) и, следовательно, необходимо провести проверку полученных решений.