Исследование функции одной переменной и построение графика. Асимптоты графика функции.
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+Dx,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).
Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) =f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.
Асимптоты графика функции
Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов
limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x)
равен +Ґ или -Ґ.
Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как limx® 2+01/(x-2) = +Ґ, limx® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).
Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a (x),
где limx® +Ґa (x) = 0.
Справедлива
Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a(x),
тогда
limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.
Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.
Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.
Пример 15. Найти асимптоты кривой:
y = 5x/(x-3).
Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как
limx® 3± 05x/(x-3) = ±Ґ.
Найдем наклонную асимптоту:
k = limx® ±Ґy/x = limx® ±Ґ5x/x(x-3) = 0. b = limx® ±Ґ(y-kx) =limx® ±Ґ5x/(x-3) = 5.
Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.
Событие и их классификация. Классическая и статистическая определения вероятности случайного события. Сумма и произведение событий.
Случайные события и их классификация, операции над событиями.
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.
Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.
Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.
Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.
Противоположным к
событию A называется такое событие 
,
которое заключается в том, что событие A не
происходит.
События Ak (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.
При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:
.