14. Логарифмическая функция. Исследование логарифмической функции.

Функция   (где  ,  ) называется логарифмической функцией с основанием  .

Конечно, хорошо бы вспомнить сначала  определение логарифма.

График логарифмической функции   можно построить используя тот факт, что функция   обратна показательной функции  . Поэтому можно построить график показательной функции  , после чего отобразить его симметрично относительно прямой  .

И все же, как произвести построение, скажем, графика   без предварительного построения графика показательной функции?

Мы должны перебирать различные значения   и, подставляя в формулу, найти соответствующие значения  .

Так вот согласно определению логарифма, например,   – это такая степень числа 2, в которую нужно возвести это основание 2, чтобы получить 8, то есть   так как  .

Руководствуясь этим правилом мы и заполняем всю таблицу (можно бы в эту таблицу дописать и такие значения  , как 8, 16,…):

Получаем следующий график функции:

Если мы возьмем функцию   , то график будет выглядеть так:

Свойства логарифмической функции

15. Функция синус и её исследование.

а)  Область определения:   D (sin x) = R .

    б)  Множество значений:   E (sin x) = [ – 1 ,  1 ] . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

    д)  Нули функции:  sin x = 0  при   x =  n,   n   Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства:

;       .

      ж)  Промежутки монотонности: ;

.

      з)  Экстремумы:  ;           .

     График функции    y= sin x   изображен на рисунке.

16. Функция косинус и её исследование.

)  Область определения:   D (cos x) = R .

    б)  Множество значений:   E (cos x ) = [ – 1 ,  1 ] . в)  Четность, нечетность:   функция четная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

    д)  Нули функции:  cos x = 0  при   x =   +  n,   n   Z.

   е)  Промежутки знакопостоянства:

;   .

.      ж)  Промежутки монотонности:

;

.

      з)  Экстремумы:

;             .

     График функции    y= cos x   изображен на рисунке.

17. Функция тангенс и её исследование.

  Область определения:   D (tg x) = R \ { /2 +   n( n   Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (tg x ) = R . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T =  .

    д)  Нули функции:  tg x = 0  при   x =  n,   n   Z.

      е)  Промежутки знакопостоянства:

;        .

      ж)  Промежутки монотонности:  функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

      з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = tg x   изображен на рисунке.

18. Функция котангенс и её исследование.

Область определения:   D (ctg x) = R \ {  n( n   Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (ctg x ) = R . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T =  .

    д)  Нули функции:  ctg x = 0  при   x =  /2 +  n,   n   Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства ; ;        .

     ж)  Промежутки монотонности:  функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области  определения.

     з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = ctg x  изображен на рисунке.

19. Преобразование графиков тригонометрических функций.

Функцию у=f(x) называют периодической ,если существует такое отличное от нуля число Т ,что выполняется двойное равенство

f ( x - T) = f(x) = f(x + T) Т - период функции у=f(x)   sin ( x - T) =sin x =sin (x + T) . Аналогично для у=cos x 

Функции у=sin x , у=cos x являются периодическими . Наименьший период их равен 2 .Любое число вида 2 k ,где k = 1, 2, 3 ,... ,является периодом у=sin x , у=cos x .  Наименьший период функций у= tg x , y= ctg xявляется  . Основной период функций у=sin kx и у=cos kx равен  А для у= tg x и y= ctg x

20. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Необходимое достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале   мы можем утверждать о возрастании на отрезке  .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку   называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают  .

Точку   называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают  .

Под окрестностью точки   понимают интервал  , где   - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции;

найти производную функции;

решить неравенства   и   на области определения;

к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.