Геометрична інтерпретація.
Рис. 7.2
Аналогічно, якщо х = а– особлива точка, то невласний інтеграл визначають так:
|
|
.Якщо х = с– єдина внутрішня особлива точка на відрізку [a; b], то покладають:
|
|
.за умов, що обидва невласні інтеграли справа збігаються.
Якщо особливих точок на відрізку [a; b] декілька, то відрізок розбивають так, щоб у кожному відрізку розбиття було не більше однієї особливої точки і користуються означенням (7.1).
Нехай F(x) – первісна для функції f(x).
Покладемо:
(якщо ці границі існують). Тоді, аналогом формули Ньютона-Лейбніца для збіжних інтегралів, у яких особливими точками є точки х = а і х = b, буде формула:
|
|
.
Д
ослідити
збіжність інтеграла: 
Розв'язування.
.
Підінтегральна функція
має одну особливу точку на відрізку
інтегрування [0; a]:
.
Відповідь: інтеграл збіжний.
2.
.
Підінтегральна функція
має одну особливу точку на відрізку
інтегрування [0; а]:
Інтеграл розбіжний.
Основні ознаки існування інтеграла.
1. Нехай f(x) 0. Тоді, для збіжності невласного інтеграла (7.1) необхідно і достатньо, щоб при усіх > 0 виконувалась нерівність:
2. Ознака Коші. Нехай для достатньо близьких до b значень х функція f(x) має вигляд:
Тоді: 1) якщо
1
і g(x) c > 0,
то інтеграл
розбігається.
3. Якщо при х b
функція у = f(x)
є нескінченно великого порядку > 0
(у порівнянні з
),
то інтеграл
збігається або розбігається залежно
від того, чи буде < 1
або 1.
Дослідити збіжність інтеграла:
а)
.
Розв'язування.
х = 1 –
особлива точка. Підінтегральна функція
,
являє собою нескінченно велику порядку
,
бо
,
при х 1.
Отже, інтеграл збігається.
б)
.
Розв'язування.
х = 1 –
особлива точка. Підінтегральна функція
являє собою нескінченно велику порядку
1, бо
при х 1.
Отже, інтеграл розбігається.
Зауваження. Властивості невласних інтегралів аналогічні властивостям визначених інтегралів і отримуються з них таким чином: невласні інтеграли є границею визначених, тому, звичайно, достатньо написати для останніх рівність або нерівність, що виражають потрібну властивість, і перейти до границь.
7.3. Деякі особливі інтеграли.
Інтеграл Ейлера.
|
(7.7) |
.
.
Обчислимо інтеграл (7.7):
або
.
Зауваження.
По інтегралу І
зводяться
також інтеграли
,
.
II. Інтеграл Ейлера-Пуассона.
|
(7.8) |
.Функція f(t) = (1+t)e–t досягає свого найбільшого значення 1 при t = 0.
Отже,
(1 + t)e–t < 1 при t >0 і t <0.
Покладаючи t = x2 отримаємо:
і
.
Звідси:
|
(7.9) |
|
|
(7.10) |
|
.
.
Підносячи вирази (7.9) і (7.10) до степеня з будь-яким натуральним показником n, матимемо:
|
(7.11) |
|
|
(7.12) |
|
.
.
Інтегруючи нерівність (7.11) в проміжку від 0 до 1, а (7.12)– від 0 до +, отримаємо:
Але
1.
2.
3.
Отже,
|
(7.13) |
.Підносячи до квадрата, і перетворюючи вираз (9.13), матимемо:
. |
(7.14) |
Отже,
і
Таким чином:
.