3.5.1. Похідна показникової функції.

Показникова функція y=а^х, будучи визначеною на нескінченній прямій, є оберненою для логарифмічної функції х=log_ay, визначеної на півпрямій y>0. Тоді, згідно теореми про обернену функцію, функція y=а^х, де в будь-якій точці х=log_ay має похідну , тоді, остаточно

(ax) =axlna.

(3.18)

Якщо а=e, то

(ех) =ех.

(3.19)

3.5.2. Похідні обернених тригонометричних функцій.

y=arcsinх в інтервалі –1<х<+1 – обернена до функції х=siny в інтервалі –/2<y+/2. Тоді, згідно теореми про обернену функцію

(3.20)

Аналогічне виведення і для arccosх=y:

	(3.21)
	(3.22)
	(3.23)

3.5.3. Поняття похідної логарифмічної функції.

Нехай функція y=f(х) додатна, тоді в цій точці існує lny=lnf(x).

Розглядаючи lnf(х) як складну функцію аргумента х, ми можемо обчислити похідну цієї функції в точці х, приймаючи y=f(х) за проміжний аргумент. Тоді отримаємо:

(3.24)

Величина, яка визначається цією формулою, називається логарифмічною похідною функції y=f(х) в даній точці х.

Р озглянемо степенево-показникову функцію y=u(х)^v(х) шляхом обчислення логарифмічної похідної. Тоді lny=v(х)lnu(х). Звідси .

Звідки

(3.25)

3.5.4. Похідна степеневої функції з будь-яким дійсним показником.

Нехай функція y=х^, де – довільний дійсний показник. Будемо обчислювати для значення х, що належать пів прямій х>0, маючи на увазі, що y=х^>0, тоді lny=lnx

або

y= (х) =  х —1.

(3.26)

Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій.

1.	(x)=x—1	9.
2.		10.
3.	(ax)= axlna	11.
4.	(sinx) =cosx	12.	(shx) =chx
5.	(cosx) = –sinx	13.	(chx) =shx
6.		14.
7.		15.
8.

Тепер ми можемо стверджувати, що похідна будь-якої елементарноїфункції являє собою також елементарну функцію.

3.6. Похідна функцій, заданих неявно та параметрично.

Нехай значення двох змінних х и y зв'язані між собою деяким рівнянням:

F(х,y)=0..

(3.27)

Якщо функція y=f(х) визначена на інтервалі (а,b) така, що рівняння (3.27) при підстановці в нього замість yf(х) звертається в тотожність відносно х, то функція y=f(х) є неявна функція, обумовлена рівнянням (3.27).

Наприклад,x²+y²–a²=0, підставимо x²+y²–x²–a²=0.

Зауваження 1. Відзначимо, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а спосіб задання. Кожна явна функція y=f(х) може бути представлена як неявна: y–f(х) =0.

Правило знаходження похідної неявної функції, не перетворюючи її в явну таке. Нехай функція задана рівнянням x²+y²–a²=0. Тут y є функція від х, що визначає і цю тотожність.

Взявши похідну по х, вважаючи, що y є функція х, користуючись складною функцією, одержимо:

2x+2yy=0  .

Ще приклад:

y⁶–y–x²=0  6y⁵y–y–2x=0 .

Зауваження 2. З наведених прикладів випливає, що для знаходження значення похідної неявної функції при даному значенні аргументу х потрібно знати і значення функції y при даному значенні х.