3.2. Квантори

Крім застосування до предикатів ” звичайних ” логічних операцій (~ , → , , , , ↔) та операції підстановки замість предметних змінних їх конкретних значень, у логіці предикатів використовують так звані операції зв’язування квантором ( операції квантифікації ). Квантори вперше були введені саме в рамках класичної математичної логіки.

Означення 3.2.1. Квантором загальності називають знак , під впливом якого предикат Р ( х ) , визначений на множині М, набуває істинного значення для всіх х М, і позначають це як х Р ( х ) .

Означення 3.2.2. Квантором існування називають знак , під впливом якого предикат Р (х), визначений на множині М, набуває істинного значення для деяких х М, і позначають це як х Р ( х ) .

Знак квантора загальності є перевернутою буквою ”А”, що є першою літерою англійського слова ”All”, що означає ” всі ”, а знак квантора існування є перевернутою літерою ”Е”, що є першою буквою англійського слова ” Exist ” і означає ” існування ”. Квантор у природній мові читається як ” всі ”, ”кожен”, ”всякий”, ”який би не був”. Квантор - ”існує (бодай один) ”, ”існують”, ”знайдеться (бодай один) ”, ”знайдуться”, ”деякі”.

Якщо квантор застосовується до предиката, то кажуть, що він навішується на формулу.

Наприклад, х₁ Р( х₁,x₂,…,x_n ) – на n - місний предикат навішений квантор загальності, при цьому він зв’язує змінну х₁ , а на інші змінні його дія не поширюється. Змінна х₁ в цьому разі називається пов’язаною, всі інші змінні є вільними. Внаслідок операції квантифікації місність предиката зміниться (в цьому випадку предикат стає n-1 - місним).

Важливу роль у логіці предикатів відіграє поняття області дії квантора. Область дії квантора – це предикат, на який даний квантор навішується. Як правило, вона виділяється дужками. Наприклад, у предиката

x y (x<yz>0)↔(x=z) змінна z вільна, змінна x частково вільна, оскільки має два зв’язаних і одне вільне входження, а змінна y пов’язана.

Якщо предикат P(x) не містить інших змінних, крім х, вирази x P(x) та x P(x) є реченнями, що виражають істинні або хибні висловлювання.

Приклад 3.2.1. Висловлювання: ” Всі студенти складають іспити ” і ” Деякі студенти складають іспити на відмінно ” подати засобом логіки предикатів.

Розв’язання. Введемо предикати: Р(x) ‒ ” x – складає іспити ”, Q(x) ‒ ” x – складає іспити на відмінно ”, x M, де М – множина студентів. Тоді шукані подання матимуть вигляд х Р( х ) і х Q( х ).

Приклад 3.2.2. Для предметної області множини дійсних чисел записати засобом логіки предикатів такі твердження: ”Існує число, квадрат якого дорівнює 25”; „ Для всіх х є правильним, що ( х + 2 ) = х + 4х + 4 ”.

Розв’язання. Введемо предикат P(х, у) – “ x = y “, який є істинним тоді, коли значення змінної х дорівнює значенню у. У цьому разі, використовуючи квантори, можна записати

х P( х , 25 ) ; х P( ( х + 2 ) , х + 4х + 4 ).

3.3. Формули логіки предикатів

Означення 3.3.1. Формулою у логіці предикатів називають вираз, який задовольняє такі індуктивні визначення.

1. Якщо P - символ n-місного предиката, а t ,t ,...,t ‒ терми, то Р( t ,t ,...,t ) ‒ формула, яку називають атомарною ( елементарною ). Всі предметні змінні атомарних формул – вільні, пов’язаних змінних немає.

2. Якщо P ‒ формула, то P ‒ також формула. Вільні й пов’язані змінні формули P ‒ це відповідно вільні та пов’язані змінні формули P .

3. Якщо і ‒ формули і немає таких предметних змінних, які були б пов’язаними в одній формулі, але вільними в іншій, тоді , , , ( ~ ) є теж формулами, в яких статус змінних зберігається.

4. Якщо Р ‒ формула, яка містить вільну змінну х, то x P і x P також є формулами. Змінна х у цих формулах стає пов’язаною. Статус інших змінних зберігається.

5. Ніяких інших формул, крім породжених зазначеними вище правилами, не існує.

Приклад 3.3.1. Визначити, які із виразів є формулами логіки предикатів:

1. P ( x ,x ,x ) ;

2. x₁ x₂ P ( x₁,x₂,x₃ ) x₁P ( x₁,x₄);.

3. x₁ x₃ ( P ( x₁, x₃ ) P ( x₃, x₄ ).

Розв’язання. Вираз а) є атомарною формулою, в якій x ,x ,x ‒ вільні змінні. Вираз б) є формулою, в якій x ,x ‒ пов’язані змінні, а x , x ‒ вільні змінні.

Вираз в) не є формулою, оскільки порушене правило 3 означення 3.3.1.

Приклад 3.3.2. Визначити, які змінні є пов’язаними, а які вільними у таких формулах:

4. Р( х,у,z ),; y ( P( x ) x Q( x,y )) ; y ( P( y ) y Q( x,y )) .

Розв’язання. Усі три змінні у формулі а) є вільними. У формулі б) змінна у є пов’язаною, а змінна x – і пов’язаною, і вільною. У формулі в) змінна х є вільною, а змінна у пов’язаною.

Означення 3.3.3. Інтерпретацією формули логіки предикатів називається система, що складається з непорожньої множини М  (М₁М₂…М_n), яку називають областю інтерпретації, і відповідності, яка кожному предикатному символу P_iⁿ зіставляє певний n - місний предикат, заданий на множині М, кожному функціональному символу f_iⁿ – деяку n - арну алгебраїчну операцію, кожній константі α_i – деякий конкретний елемент із М.

Для кожної інтерпретації на області формула F може набувати істинного І, або хибного Х значення згідно з такими правилами.

1. Якщо задані значення формул F і G, то значень істинності формул , , , ( ~ ) можна визначити за допомогою таблиць істинності відповідних логічних операцій.

2. Формула x F набуває значення І, якщо F набуває значення І для кожного х із предикатної області , у протилежному разі ‒ Х.

3. Формула x F набуває значення І, якщо F набуває значення І для деякого х із предикатної області , у протилежному разі ‒ Х.

Означення 3.3.4. Формула логіки предикатів називається :

1. істинною в даній інтерпретації, якщо вона виконується на будь-якому наборі елементів з області інтерпретації;

2. хибною в даній інтерпретації, якщо вона не виконується на жодному наборі елементів з області інтерпретації;

3. виконуваною в даній інтерпретації, якщо вона виконується хоча б на одному наборі елементів з області інтерпретації;

4. спростовною в даній інтерпретації, якщо вона не виконується хоча б на одному наборі елементів з області інтерпретації.

Приклад 3.3.3. Побудувати інтерпретацію формул: P( x ,x ) ; x P( x ,x ) ; х₂ х₁ Р( х , х ).

Розв’язання. Введемо область інтерпретації – множину цілих додатних чисел Z₊ , а замість P(x₁, x₂) введемо предикат ”x₁ ≥ x₂ ”. Перша формула – це саме предикат, побудований на Z₊. Вона є виконуваною і спростовною. Друга формула буде виражати одномісний предикат, вона є хибною. Третя формула – це істинне висловлювання, яке стверджує про існування найменшого цілого додатного числа.