Класична математична логіка

Розділ 3

Логіка предикатів першого порядку

3.1. Основні поняття логіки предикатів

У розділі 1 формалізація мови у логіці висловлювань здійснюється шляхом розбиття мовних повідомлень на окремі неподільні речення (атоми), а їх змістове об’єднання – за допомогою символів ~ , → , , ,  . Внутрішня структура речень при цьому не враховується. Наприклад, для умовиводу ”Деякі люди геніальні. Сократ ‒ людина. Отже, він геніальний”, інтуїтивно зазначений логічний висновок стосується деяких індивідуумів, до яких Сократ міг і не належати. Тобто в цьому висловлюванні не врахована внутрішня змістова особливість узагальнення

” деякі ”. А якщо розглянути умовивід „Кожна людина смертна. Оскільки Сократ ‒ людина, то він смертний”, то інтуїтивно зазначений логічний висновок є коректним.

Розглянемо цей умовивід більш детально. Для цього введемо атоми: А – ”кожна людина смертна”; В – ”Сократ – людина” ; С – ”Сократ смертний”.

Тоді умовивід відповідатиме формулі логіки висловлювань А В→ С, або перетворивши яку в нормальну форму, отримаємо

А В → С = ( А В ) С = А В С.

Остання формула на інтерпретації ( I, I, X ) хибна, що свідчить про те, що вона не є загальнозначущою. А це означає, що у рамках логіки висловлювань С не є логічним наслідком А і В. Така обмеженість можливостей цієї формалізації пов’язана з тим, що в атомі А не врахована внутрішня змістова особливість узагальнення ”кожний”.

Теорія предикатів ураховує внутрішню структуру речень і ґрунтується на тому, що в цих реченнях подані об’єкти мають певні властивості або знаходяться між собою у певному відношенні. Наприклад, у висловленні

” Сократ – людина ”, підмет ” Сократ ” є об’єктом, а присудок ” людина ” виражає деяку його властивість. Головним для логіки предикатів є саме друга складова речення, що фіксується, а значення об’єкта пропонується позначити деякою змінною величиною. Таким чином, можна розглянути речення ” x – людина ”, яке не є висловлюванням, а є висловлювальною формою, підстановка в яку замість параметра x об’єктів ( значень ) з деякої множини М перетворює форму у висловлювання.

Нехай М – непорожня підмножина декартового добутку M₁M₂…M_n множин (n  1).

Означення 3.1.1. n - місним предикатом, заданим на множині М, називається речення, що містить n змінних x₁,x₂,…,x_n і стає висловленням при кожній заміні їх елементами з відповідних множин a₁,a₂,…,a_n.

n - місний предикат будемо позначати Р(х₁, х₂,..., x_n ), змінні x₁,x₂,…,x_n будемо називати предметними змінними, а елементи множин, які ці змінні приймають (a₁,a₂,…,a_n)ϵМ, – предметними константами. Наприклад, над множиною натуральних чисел речення ” х – просте число ” є одномісним предикатом, а речення ” х кохає y ” є двомісний предикат на множині людей.

Таким чином, будь-який n - місний предикат можна ототожнити з логічною функцією n аргументів, що набуває значення із множини {I, X}, тобто

Р ( х , х ,... , x ) : M₁M₂…M_n → { I,X }.

Це пояснюється тим, що у математичній логіці нас менше цікавить змістова суть предиката, а більш важливо знати, яке значення істинності ставиться у відповідність за допомогою даного предиката тій чи іншій послідовності елементів.

Таким чином, предикат Р( х , х ,... , x ) буде визначений, якщо: задана деяка множина М, яку називають областю визначення предиката (предметна область); задана область значень (фіксована множина {I,X }); зазначене правило, за допомогою якого кожному елементу, що взятий у предикатній області, ставиться у відповідність один із двох елементів із області значень. Предикат, що не має предметних змінних ( n = 0 ) є висловлюванням або нульмісним предикатом; якщо п = 1, то предикат відповідає властивості; якщо п = 2, то предикат є бінарним відношенням; якщо п = 3, то предикат – тернарне відношення і т. д.

Приклад 3.1.1. Подати предикатами речення: ”х – ціле число”; ”х ділиться на у”.

Розв’язання. Дії або властивості цих речень оберемо як назву предикатів: ЦІЛЕ, ДІЛИТЬСЯ. Тоді задані висловлювання можна записати у вигляді предикатів таким чином: ЦІЛЕ(х), ДІЛИТЬСЯ(х, у). Перший предикат є одномісним і виражає деяку властивість чисел, а другий двомісним і виражає бінарне відношення подільності на множині чисел.

Над предикатами можна виконувати звичайні логічні операції. Результатом цих операцій будуть нові предикати. Наприклад, нехай Р( х ) позначає предикат ”х ділиться на 2”, а Q ( x ) ‒ предикат ”х ділиться на 3”. Тоді вираз

Р( х ) Q ( x ) позначає предикат ”х ділиться на 2 та х ділиться на 3”, тобто позначає предикат ”х ділиться на 6”.

За допомогою логічних операцій можна будувати як завгодно складні предикати. Для побудови формул логіки предикатів застосовується алфавіт, у якому є:

предметні змінні x₁,x₂,…,x_n ;

предметні константи a₁,a₂,…,a_n ;

функціональні символи f_iⁿ , де і = 1, 2,… вказує порядковий номер символа, а n = 1, 2,… вказує на кількість аргументів;

предикатні символи P_iⁿ , де і = 1, 2,… вказує порядковий номер символа, а n = 0, 1, 2, … вказує на кількість аргу-ментів;

знаки логічних операцій ~ , → , , , , ↔; квантори , ; знаки пунктуації – ліва і права дужки та кома.

Серед слів, записаних за допомогою зазначених вище символів, виділяють терми і формули, що визначаються індуктивним чином.

Означення 3.1.2. 1) будь-яка предметна змінна або предметна константа є термом; 2) якщо f – функціональний символ, а ‒ терми, то f( ) є терм; 3) ніяких інших термів, крім породжених за допомогою зазначених вище правил, не існує.

Приклад 3.1.2. Записати у вигляді предикатів такі речення: ”Сестра Миколи”, ”Студенти складають іспит”, ”Число х більше числа х - 1”.

Розв’язання 1. Речення ”Сестра Миколи” не може бути ”істинним” або ”хибним”, тому його не можна зобразити у вигляді предиката. Це речення є деяким елементом предметної області на множині людей.

2. Речення ”Студенти складають іспит” може набувати значення ”істина” або ”хибність”, тому його можна записати у вигляді предиката. У структурі речення можна виділити присудок ”складають”, підмет ”студенти” і додаток ”іспит”. Підмет і додаток можна розглядати як

предметні константи, а присудок – як нульмісний предикат. Тому речення ”Студенти складають іспит” можна записати у вигляді нульмісного предиката таким чином: СКЛАДАТИ (студенти, іспит).

3. Присудком у цьому реченні є слово ”більше”. Під-мет ”х” і додаток ”х - 1” зобразимо у вигляді термів. Терм ”х - 1” має внутрішню структуру, оскільки в ньому є функціональний символ ” мінус ”. Виходячи із цього, речення набере вигляду двомісного предиката:

БІЛЬШЕ (( х,1), мінус (х,1)), де х – предметна змінна, а 1 – константа.

Приклад 3.1.3. Предикат ”ДОРІВНЮВАТИ ( х ,7 )” записати природною мовою.

Розв’язання. У предикаті 7 є константа, а х – предметна змінна, тому він відповідає твердженню природної мови –х дорівнює 7.