2.6. Метод доведення від супротивного

Цей метод доведення істинності висловлювання полягає в такому: допускають, що істинним є заперечення того висловлювання, яке необхідно довести (наслідок); потім через причини (посилки) намагаються дійти до суперечності. Якщо це відбулося, то досліджуване логічне висловлювання істинне, якщо ні – хибне.

Приклад 2.6.1. Довести істинність (хибність) логічного висловлювання

методом від супротивного.

Розв’язання. Для зручності доведення логічного висловлювання подамо його в такому вигляді:

∆ ,

де символ ∆ позначає “ наслідок “.

Припустимо, що посилки істинні, а наслідок  хибний. Якщо наслідок хибний, тоді  хибне. Але якщо  хибне, то C і D також хибне. Якщо C і D хибні, а посилки і істинні, то А і В також хибні. Але якщо А і В хибні, а посилка за умовою істинна, то ми дійшли до суперечності, з якої випливає, що дане висловлювання істинне.

Приклад 2.6.2. Довести істинність (хибність) логічного висловлювання

методом від супротивного.

Розв’язання. Для зручності доведення логічного висловлювання подамо його в такому вигляді:

С____

∆

Припустимо, що посилки істинні, а наслідок – хибний. Тоді С – істинне, а А – хибне. Але якщо А – хибне, а С – істинне, то перші дві посилки і будуть також істинними, і це не веде до суперечності. Тому дане логічне висловлювання – хибне.

Приклад 2.6.3. Довести істинність (хибність) логічного висловлювання методом від супротивного.

Розв’язання. Для зручності доведення логічного висловлювання подамо його в такому вигляді:

А

D______

∆ .

Припустимо, що посилки істинні, а наслідок – хибний. Тоді C і D – хибні, а А – істинне. Але якщо А  істинне, то і В за умовою повинне бути істинним. А якщо це так, то посилка буде хибною, що призводить до суперечності, з якого випливає істинність даного висловлювання.

2.7. Метод резолюцій

У цьому методі для доведення істинності висловлювань використовують аксіоми порядку. Суть методу зводиться до того, що дві посилки диз’юнкти з протилежними термами завжди можна склеїти в один остаточний диз’юнкт, у якому вже не буде протилежних термів, наприклад

де А і С – задовільні терми або цілі диз’юнкти з будь-яким набором термів, включаючи хибність; В і  задовільні терми. Якщо послідовно застосувати метод резолюцій до досліджуваної клаузи, то внаслідок цього отримаємо зменшення числа букв, у тому числі й до їх повного зникнення.

Метод резолюцій за своєю суттю заміняє аксіому порядку, оскільки вона сама може бути доведена в рамках методу резолюцій, наприклад:

.

Необхідно відмітити, що посилка В тут не використовується. Це може бути допустимо, оскільки не-

обов’язково використовувати всі посилки (їх число може бути збитковим), головне в цьому – отримання результату. При доведенні клаузи методом резолюцій необхідно її подати в нормальній кон’юктивній формі, а необхідною умовою доведення є отримання нуля, що є підставою істинності розглядуваної клаузи.

Приклад 2.7.1. Довести істинність клаузи методом резолюцій.

Розв’язання. Подамо клаузу в КНФ:

.

Перенесемо всі посилки в ліву частину кляузи:

.

Випишемо посилки клаузи у стовпчик і склеїмо їх по черзі:

1. , 8. (1, 2),

2. , 9. (3, 7),

3. , 10. (8, 9),

4. Е , 11. (4, 10),

5. С , 12. F (5, 11),

6. , 13. 0 (6, 12).

7. В ,

Із черги склеювання посилок випливає, що ця клауза істинна.

Приклад 2.7.2. Довести істинність клаузи методом резолюцій.

Розв’язання. Подамо клаузу в КНФ:

Перенесемо всі посилки в лівий бік клаузи:

Випишемо всі по порядку посилки клаузи і склеїмо їх по черзі:

1. ,

2. , 9. (1, 8),

3. , 10. (4, 6),

4. , 11. (9, 10),

5. , 12. (5, 11),

6. , 13. (3, 12),

7. , 14. (7, 13),

8. (2, 3), 15. 0 (11, 14).

Із черги склеювання посилок випливає, що ця клауза істинна.

Контрольні запитання

1. Які умови повинні бути виконані під час визначення формальної аксіоматичної теорії L?

2. Що називають аксіомами теорії L?

3. Що називають гіпотезами виведення у теорії L?

4. Що називають наслідком у теорії L і як його позначають?

5. Що називають теоремою в теорії L?

6. Яким способом задають формальну аксіоматичну теорію L?

7. Скільки правил виведення використовують у теорії L?

8. Які аксіоми використовують у теорії L для доведення будь-яких формул у логіці висловлювань? Запишіть їх.

9. Які ви знаєте інші аксіоматичні числення висловлювань? Запишіть їх.

10. Сформулюйте теорему дедукції.

11. Для яких цілей застосовується теорема дедукції?

12. Яке основне правило виведення використовують у теоремі дедукції?

13. Чи використовують гіпотези, аксіоми та самі формули під час доведення теореми дедукції?

16. На чому ґрунтується аксіоматичний метод?

17. Яка аксіома використовується як основна при аксіоматичному методі?

18. Яке правило найчастіше використовується в аксіоматичному методі?

19. Назвіть тотожності та закони алгебри Буля, що використовуються в аксіоматичному методі.

20. Сформулюйте означення конструктивного методу.

21. Яка відмінність конструктивного методу від аксіоматичного?

22. Що розуміють під мінімальним покриттям?

23. Сформулюйте метод доведення висловлювань від супротивного.

24. У чому різниця методів доведення логічних висловлювань від супротивного й аксіоматичного?

25. Сформулюйте кроки алгоритму, що покладені в основу методу резолюцій.

26. Яка аксіома використовується в методі резолюцій?

27. Чим відрізняється метод резолюцій від аксіоматичного і конструктивного методів?

Задачі для самостійного розв’язування

1. Довести, що для будь-якої формули А в теорії L виконується умова

├ .

2. Довести, що для будь-якої формул А, В і С у теорії L виконується умова

├ .

3. Довести, що для будь-яких формул А, В у теорії L виконується умова

├ .

4. Довести, що для будь-яких формул А, В, С у теорії L виконується умова

├ .

5. Довести, що такі формули є теоремами теорії L:

а) ;

б) ;

в) .

6. Довести, що для будь-яких формул , і такі формули є теоремами теорії L :

а) ;

б) ~ .

7. У логічному висловлюванні “Будь-яке висловлювання є хибним” зняти суперечність.

8. У логічному висловлюванні “В одному селі жив перукар. Він голив тих жителів села, хто не голився сам”. Виразити семантику цієї суперечності формальною мовою і записати його за допомогою двох метависловлювань.

9. Довести такі клаузи аксіоматичним методом:

а) ;

б) ;

в) , ;

г) , , ;

д) , , , ;

е) , , , ;

є) , , , ;

ж) , , ; .

10. Для заданих легенд побудувати клаузи і довести їх істинність за допомогою конструктивного методу:

а) “Якщо в одному місці щось вибуває, то в іншому щось прибуває і навпаки.” Якщо в космічному просторі є “чорна дірка”, то в неї все провалюється, тобто в її оточенні щось вибуває. Якщо є “біла дірка”, то із неї в навколишній простір повинна прибувати речовина. Якщо є “чорна дірка”, то її неможливо побачити, оскільки вона не випромінює світло. Астроном подивився і нічого не побачив. Отже, “біла дірка” є. Це хибний умовивід. Істинним вис-

новком є, наприклад, таке: “Якщо є “чорна дірка”, то десь у космічному просторі повинна неодмінно з’явитися речовина”;

б) “Усе живе повинне бути чутливим. Будь-яке матеріальне тіло займає деякий об’єм. Якщо щось займає об’ємний простір і може бути чутливим, то це є не що інше, як живий організм. Нехай є щось живе, але не є організмом. Тоді випливає наслідок, що це щось нематеріальне.”

11. Довести істинність (хибність) логічних висловлювань у таких клаузах методом від супротивного:

а) АВ б) АВ в) АВ г) А  В

АС ВС ВС ВС

С  В С С  С

А А А

д) є) ж)

(АВ) А

12. Кожну із наведених клауз довести методом резолюцій:

а)

б)

в)

г)

д)

Коментарі. У цьому розділі формальна теорія L і теорема дедукції викладені відповідно до [14]. Більш детальне викладення цього матеріалу можна знайти в класичних підручниках, наприклад [12]. У цьому розділі побудова доведень у логіці висловлювань викладена більш удосконалено і наочно порівняно з [8,27], що підтверджується значною кількістю різноманітних прикладів.

64