2.5. Конструктивний метод

Протилежним до аксіоматичного є конструктивний метод у логіці висловлювань, який ґрунтується на таблицях істинності. Для його розуміння побудуємо таблицю істинності для будь-якого одного прикладу. Нехай задана така легенда: “Експедитор сказав, що він бачив водія в кімнаті відпочинку”. Ця кімната знаходиться поряд зі складом. Стріляли у складі. Водій заявив, що він ніякої стрілянини не чув. Висновок: якщо експедитор каже правду, то водій веде слідство до помилки; не можуть експедитор і водій одночасно говорити правду.

Для висловлювань з легенди введемо такі позначення: А = “Експедитор сказав правду”. B = “Водій відпочивав у кімнаті відпочинку”. С = “Кімната відпочинку знаходиться поряд зі складом”. D = “Водій чув стрілянину”.

Е = “Водій сказав правду”.

Посилки слідчого мають такі наповнення:

“Якщо експедитор сказав правду, то водій знаходився в кімнаті відпочинку”: .

“Якщо водій знаходився в кімнаті відпочинку, то він повинен був чути все, що робиться у складі”: .

“Якщо водій мав можливість чути, що робиться у складі, то він чув і стрілянину”: .

“Якщо вірити водієві, то він не чув стрілянини”: .

Висновки слідчого мають такі наповнення:

“Водій мене обманює за умови, що експедитор каже правду”: .

“Експедитор і водій одночасно кажуть правду”: .

“Водій обманює, він знаходився в кімнаті відпочинку, яка дійсно розташована поряд зі складом, – це все так, але за умови, що експедитор сказав правду або що водій знаходився у кімнаті відпочинку”:

.

“Водій обманює, він чув стрілянину, а кімната відпочинку дійсно розташована поряд зі складом – це все так, але за умові, що експедитор сказав правду або

що водій знаходився в кімнаті відпочинку”: .

Будуємо таблицю істинності (табл. 2.5.1), в якій під Р розуміють спільну причину всіх посилок Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, тобто їх кон’юнкцію:

Таблиця 2.5.1

№

A

B

C

D

E

P1

P2

P3

P4

P

C1

C2

C3

C4

0

X

X

X

X

X

I

I

I

I

I

I

X

I

I

1

I

X

X

X

X

X

I

I

I

X

I

X

X

X

2

X

I

X

X

X

I

X

I

I

X

I

X

I

X

3

I

I

X

X

X

I

X

I

I

X

I

X

X

X

4

X

X

I

X

X

I

I

X

I

X

I

X

I

I

5

I

X

I

X

X

X

I

X

I

X

I

X

X

X

6

X

I

I

X

X

I

I

X

I

X

I

X

I

X

7

I

I

I

X

X

I

I

X

I

X

I

X

I

X

8

X

X

X

I

X

I

I

I

I

I

I

X

X

I

9

I

X

X

I

X

X

I

I

I

X

I

X

X

X

10

X

I

X

I

X

I

X

I

I

X

I

X

X

X

11

I

I

X

I

X

I

X

I

I

X

I

X

X

X

12

X

X

I

I

X

I

I

I

I

I

I

X

X

I

13

I

X

I

I

X

X

I

I

I

X

I

X

X

I

14

X

I

I

I

X

I

I

I

I

I

I

X

I

I

15

I

I

I

I

X

I

I

I

I

I

I

X

I

I

16

X

X

X

X

I

I

I

I

I

I

I

X

I

I

17

I

X

X

X

I

X

I

I

I

X

X

I

X

X

18

X

I

X

X

I

I

X

I

I

X

I

X

I

X

19

I

I

X

X

I

I

X

I

I

X

X

I

X

X

20

X

X

I

X

I

I

I

X

I

X

I

X

I

I

21

I

X

I

X

I

X

I

X

I

X

X

I

X

X

22

X

I

I

X

I

I

I

X

I

X

I

X

I

X

23

I

I

I

X

I

I

I

X

I

X

X

I

X

X

24

X

X

X

I

I

I

I

I

X

X

I

X

X

I

25

I

X

X

I

I

X

I

I

X

X

X

I

X

X

26

X

I

X

I

I

I

X

I

X

X

I

X

X

X

27

I

I

X

I

I

I

X

I

X

X

X

I

X

X

28

X

X

I

I

I

I

I

I

X

X

I

X

X

I

29

I

X

I

I

I

X

I

I

X

X

X

I

X

X

30

X

I

I

I

I

I

I

I

X

X

I

X

X

X

31

I

I

I

I

I

I

I

I

X

X

X

I

X

X

Клауза є істиною, якщо істинні значення слідства С покривають всі істинні значення спільної причини Р, тобто істинні значення спільної причини утворюють підмножину істинних значень слідства. Ця необхідність виконується для наслідку С₁, оскільки .

Оскільки , то тавтологія, складена із цих посилок, дорівнюватиме , а суперечність матиме вигляд

Якщо наслідок С₁ замінити на С₂, то у всіх зазначених випадках причинно-наслідкові відношення порушуються і клауза перетворюється в хибне метависловлювання.

Для наслідку С₃ у рядках 8 і 12 із множини рядків стоїть хибне значення, тому умовні причинно-наслідкові відношення не виконуються і С₃ є хибним наслідком:

Для наслідку С₄ всі його позначення істинності покривають істинності спільної причини Р, тобто наслідок С₄ є істинним висновком:

У загальному випадку побудуємо всі спільні рядки подій. У нашому випадку таких рядків 6, вони відповідають 0, 8, 12, 14, 15, 16. Їх об’єднання дає граничний випадок умови виконання причинно-наслідкових відношень:

Але це є ДДНФ, що відповідає конкретній причині Р. Усі можливі покриття шести значень істинності дає множина істиннісних наслідків. Так, висновок покривають усі шість умов виконання причинно-наслідкових відношень і тому вони є істинні. Що стосується двох інших висновків і , то вони не по-

кривають усі шість умов виконання причинно-наслідкових відношень, і тому є хибними наслідками.

Для знаходження істинних наслідків із заданих причин знайдемо мінімальну нормальну форму (МНФ), мінімальне і трансверсальне покриття.

Для знаходженням МНФ за відомими ДДНФ використаємо метод Вейча або Карно, внаслідок чого отримаємо таку МНФ:

.

Мінімальне покриття – це покриття з найменшим числом термів, що є висновком С₁. До нього входять два вирішальні висловлювання, пов’язані із правдивістю касира А і правдивістю експедитора Е. Всі інші твердження В, С, D є другорядними і можуть виступати в результуючому висновку спільно з А і Е.