2.4. Аксіоматичний метод

Аксіоматичний метод перевірки тотожної істинності логічних висловлювань ґрунтується на тому, щоб серед нескінченного числа істинних клауз знайти незалежну систему аксіом, за допомогою якої можна було установити справедливість будь-яких клауз.

Оскільки доведення в логіці висловлювань будуються на відношенні порядку, то логіка висловлювань є розширенням логіки Буля. Тому всі істинні тотожності логіки Буля автоматично стають справедливими клаузами логіки висловлювань. Наприклад, закон склеювання логіки Буля можна подати такими клаузами:

, , , ~ , .

Таким чином, незалежна система аксіом логіки Буля, що складається із чотирьох законів – комутативності, асоціативності, дистрибутивності, нуля та одиниці, – автоматично стає системою аксіом і логіки висловлювань. Для визначення відношення порядку необхідне будь-яке одне елементарне висловлювання, до якого можна було зводити всі інші найбільш складні висловлювання. Таким висловлюванням може бути очевидна думка: “Істину може висловлювати кожний”.

Використовуючи формальну мову логіки висловлювань, цю думку можна подати такою кляузою: , яка означає “якщо істинне, то джерелом цієї істинності може бути що завгодно, наприклад ”. Якщо зробити еквівалентне перетворення, то отримаємо клаузу

. (2.4.1)

Семантика цієї клаузи теж змінилася і матиме таке висловлювання: “Якщо раніше було встановлено, що істинне, то істинність не може проявитися так, щоб стало хибним”, або “Істинність одного висловлювання не може впливати на істинність іншого висловлювання ”.

Отже, як основну аксіому логіки висловлювань, що виражає відношення порядку, можна використовувати клаузу 2.4.1.

Приклад 2.4.1. Довести аксіоматичним методом справедливість клаузи

, , (2.4.2) яка є правилом відділення, “Modus Ponens”.

Розв’язання. Використовуючи тотожності логіки Буля, виконаємо еквівалентні перетворення заданої клаузи , отримаємо , , що згідно з 2.4.1 підтверджує справедливість клаузи , . Тобто якщо в процесі доведення істинності будь-якої складної клаузи вдалося звести її до клаузи 2.4.2, то необхідно вважати, що доведення відбулося.

Приклад 2.4.2. Довести аксіоматичним методом справедливість гіпотетичного силогізму, який заданий такою клаузою:

, . (2.4.3)

Розв’язання. Перенесемо вліво за символ метаімплікації й отримаємо таку клаузу: , , . Скориставшись правилом відділення 2.4.2 , отримаємо , . Скориставшись удруге правилом відділення 2.4.2 , отримаємо , , що підтверджує справедливість гіпотетичного силогізму, оскільки його виведення відповідає основній аксіомі логіки висловлювань 2.4.1.

Приклад 2.4.3. Довести аксіоматичним методом істинність такої тавтології (аксіома А1): .

Розв’язання. Використовуючи істинні тотожності логіки Буля, виконаємо еквівалентне перетворення заданої тавтології й отримаємо відношення порядку , , яке наведене в 5.4.1, що й підтверджує справедливість тавтології – аксіома А1.

Приклад 2.4.4. Довести аксіоматичним методом істинність такої тавтології (аксіома А2): .

Розв’язання. Використовуючи істинні тотожності логіки Буля, виконаємо еквівалентні перетворення заданої тавтології: , , .

Користуючись правилом відділення , і ще раз правилом відділення, отримаємо відношення порядку , , що й підтверджує справедливість тавтології

– аксіома А3.

Приклад 2.4.5. Довести аксіоматичним методом істинність такої тавтології (аксіома А3): .

Розв’язання. Використовуючи істинні тотожності логіки Буля, виконаємо еквівалентні перетворення заданої тавтології , , що еквівалентно клаузі , , відповідає 2.4.2 правилу відділення, і підтверджує справедливість тавтології та аксіоми А3.

Приклад 2.4.6. Користуючись аксіоматичним методом, довести істинність такої клаузи: , , , .

Розв’язання. Задану клаузу можна подати як клаузу

, , . Використовуючи істинні тотожності Буля, виконаємо еквівалентні перетворення останньої клаузи й отримаємо , , . Застосувавши логічний закон дистрибутивності, отримаємо , .

Після логічного перетворення клауза матиме такий вигляд:

, , що відповідає правилу відділення і підтверджує істинність клаузи , , , .

Приклад 2.4.7. Користуючись аксіоматичним методом, довести істинність клаузи , ; .

Розв’язання. Виконуючи еквівалентні логічні пере-

творення, отримаємо

, , , ; , , , .

Застосовуючи закон дистрибутивності, маємо , , ; А, ; , , що відповідає правилу відділення і підтверджує істинність клаузи , ;

Для зручності та наглядності доведення логічних висловлювань аксіоматичним методом посилки логічного висловлювання записують у стовпчик спеціальної таблиці, де зазначаються перетворювана форма даного висловлювання і метод її отримання.

Приклад 2.4.8. Довести істинність логічного висловлювання , аксіоматичним методом.

Розв’язання. Посилки логічного висловлювання заносимо до табл. 2.4.1 і робимо над ними перетворення, використовуючи відповідні правила та закони.

Таблиця 2.4.1

Посилки, наслідок	Тотожна формула	Метод отримання
AB
CB
C
B	CB, CB	2, 3 і МР
BA	AB  BA	із закону контрапозиції
	BA, BA	4, 5 і МР

Із табл. 2.4.1 випливає, що доведення істинності наслідку логічного висловлювання отримано шляхом перетворення логічної посилки на еквівалентну через закон контрапозиції, а також застосування правила “Modus ponens” для відповідних посилок заданого висловлювання.

Приклад 2.4.9. Довести істинність логічного висловлювання AB, (AB)C, DC, D(EF)EF аксіоматичним методом.

Розв’язання. Посилки логічного висловлювання заносимодо табл. 2.4.2 і робимо над ними перетворення, використовуючи відповідні правила виведення.

Таблиця 2.4.2

Посилки, наслідок	Тотожна формула	Метод отримання
AB	AB
(АB)С
D C	CD
D(EF)
C	(AB), (AB)C C	1, 2 і МР
D	C, CDD	3, 5 і МР
EF	D, D(EF)EF	4, 6 і МР

Із табл. 2.4.2 випливає, що доведення істинності наслідку логічного висловлювання отримано шляхом застосування правила “Modus Рonens” для відповідних посилок заданого висловлювання.

Приклад 2.4.10. Довести істинність логічного висловлювання(AB),CD,(AB)D, CKK аксіоматичним методом.

Розв’язання. Посилки логічного висловлювання заносимо до табл. 2.4.3 і робимо над ними відповідні перетворення.

Таблиця 2.4.3

Посилки, наслідок	Тотожна формула	Метод отримання
(AB)	AB
СD	DC
(AB) D
CK	CK
D	(AB), (AB)D D	1, 3 і МР
C	D, DCC	2, 5 і МР
K	C, CKK	4, 6 і МР

Із табл. 2.4.3 випливає, що доведення істинності наслідку К логічного висловлювання отримане шляхом застосування правила “Modus Рonens” для відповідних посилок заданого висловлювання.