Класична математична логіка

Розділ 2

Числення висловлювань

При побудові алгебри висловлювань (розд. 1) в основу покладено поняття висловлювання як об’єкта, що набуває логічного значення “Істина“ або “Хибність” (закон виключеного третього). Ці поняття в багатьох випадках суб’єктивні й не належать до математичних.

У цьому розділі розглядається формалізована аксіоматична теорія – числення висловлювань, яка вільна від зазначеної вище вимоги і представляє одну з можливих аксіоматизацій алгебри висловлювань.

Довільну формулу F числення висловлювань можна змістовно інтерпретувати як складене висловлювання, істинність або хибність якого залежить від істинності елементарних висловлювань, що до нього входять. Таким чином, кожній формулі F числення висловлювань можна аналогічно тому, як це було зроблено в алгебрі висловлювань, поставити у відповідність функцію істинності f.

При побудові числення висловлювань можуть бути вибрані різні системи аксіом і правила виведення, проте при будь-якому виборі множина формул числення висловлювань збігається з множиною тотожно істинних формул алгебри висловлювань.

2.1. Формальна аксіоматична теорія l

Означення 2.1.1. Формальна аксіоматична теорія L є визначеною, якщо виконані такі умови.

1. Задано деякий злічений алфавіт – символи теорії . Скінченні послідовності символів теорії називають виразами теорії L.

2. Задано підмножину виразів теорії L, яку називають множиною формул теорії L (часто існує процедура, за допомогою якої можна завжди визначити, чи є даний вираз формулою).

3. Задано деяку множину формул, елементи якої називають аксіомами теорії L (якщо є можливість перевірити, чи є дана формула аксіомою, то теорію L називають ефективно аксіоматизованою, або аксіоматичною теорією).

4. Задано скінченну множину відношень між формулами, які називають правилами виведення.

Для будь-якого є ціле додатне , таке, що для множини формул і будь-якої формули ефективно вирішується питання, чи знаходяться ці формули у відношенні з формулою , і якщо це так, то називають безпосереднім наслідком формул за правилом ├ А.

Означення 2.1.2. Виведенням у теорії L називають таку послідовність формул , коли будь-яка з формул є або аксіомою, або безпосереднім наслідком деяких попередніх формул за одним із правил виведення.

Означення 2.1.3. Теоремою теорії L називають таку формулу , коли існує виведення в теорії L формули , в якому останнім елементом є формула . Це виведення називають виведенням формули А в теорії L.

Якщо є алгоритм для перевірки, чи А є теоремою теорії L, то теорію L називають розв’язною теорією, інакше – теорією, що не є розв’язною.

Означення 2.1.4. Формулу А називають наслідком у теорії L множини формул Г тоді і тільки тоді, коли існує така послідовність формул , що , і будь-яка з формул є або аксіомою, або елементом Г, або безпосереднім наслідком деяких попередніх формул за одним із правил виведення.

Послідовність називають виведенням А із Г, а елементи множини Г – гіпотезами виведення.

Запис ├ А означає, що А є наслідком множини формул Г. Якщо множина Г скінченна ├ А, то пишуть ├ А. Якщо Г – порожня множина , то запис ├ А можливий тоді і тільки тоді, коли А є теорема. Замість ├ А прийнято писати ├ А. Таким чином, ├ А є скороченим підтвердженням, що А – теорема.

Наведемо декілька простих властивостей поняття виведення із посилок.

1. Якщо і ├ А, то ├ А.

2. ├ А тоді і тільки тоді, коли в Г є скінченною підмножиною , для якої ├ А.

3. Якщо ├ А і ├ А для будь-якого В із множини , то ├ А.

Властивість 1 показує, що якщо А виведене із множини посилок Г, то вона залишиться виведеною, якщо додати до Г нові посилки. Частина “тоді” твердження 2 випливає із 1. Частина “тільки тоді” – це твердження є очевидним, якщо будь-яке виведення А із Г використовує скінченне число посилок із Г. Твердження 3 означає, якщо А вивідне із і кожна формула, яка є в , також вивідна з Г, то А виводимо із Г.

Формальна аксіоматична теорія L для числення висловлювань задається таким способом.

1. Символами теорії L є і букви А_і із цілими додатними числами як індекси: . Символи називають примітивними зв’язками, а А_і – пропозиційними змінними, або пропозиційними буквами.

2. Усі пропозиційні букви А_і є формулами. Якщо А і В – формули, то , теж формули теорії L.

3. Для будь-яких формул А, В, С теорії L формули:

А1) A  ( B  A );

А2) (( A  ( B  C )))  (( A  B )  ( A  C ));

А3) (  B   A)  (( B  A )  B)

є аксіомами теорії L.

4. Єдиним правилом виведення служить правило modus ponens (MP), за допомогою якого із формули А і виводиться В :

├ B.

Необхідно зазначити, що нескінченна множина аксіом теорії L задана за допомогою лише трьох схем аксіом А1, А2, А3, кожна з яких породжує нескінченну множину аксіом. Для будь-якої формули логіки висловлювань легко перевірити, є вона аксіомою чи ні, а звідси випливає, що теорія L є ефективно аксіоматизованою теорією.

Інші зв’язки в аксіоматичній теорії L можна ввести за допомогою вже відомих формул

; ;

Теорема 2.1.1. Довести, що для будь-якої формули А виконується умова ├ . Знак ├ - означає, що мова йде про теорію L.

Доведення. Побудову виведення формули виконаємо в теорії L.

1. Підставимо формулу у схему аксіоми А2, після чого отримаємо

Але формула – це є схема аксіоми А1.

2. Використовуючи 1 і 2 за правилом MP, отримаємо

3. Використовуючи схему аксіоми А1, отримаємо

.

4. Використовуючи 3 і 4 за правилом MP, отримаємо

.

Необхідно зазначити, що кожна з аксіом А1,…, А3 є незалежною.

Існують інші аксіоматизації числення висловлювань, наприклад Гільберта-Аккермана, Расселла, Кліні.

Логічними зв’язками аксіоматизації Гільберта-Аккермана є , а служить скороченням для формули . Аксіоми є такими:

ГА1) ;

ГА2) ;

ГА3) ;

ГА4) .

Правилом виведення є МР.

Логічними зв’язками аксіоматизації Расселла є , а ─ скорочення для формули . Його аксіоми мають такий вигляд:

РА1) ;

РА2) ;

РА3) .

Правилом виведення є МР.

Логічними зв’язками аксіоматизації Кліні є , аксіоми мають такий вигляд:

КА1) ;

КА2) ;

КА3) ;

КА4) ;

КА5) ;

КА6) ;

КА7) ;

КА8) ;

КА9) .

Правилом виведення є МР.