1.3. Умовні та еквівалентні висловлювання

Із таблиці істинності (табл. 1.2.2) випливає, що висловлювання A B є імплікацією ( умовним реченням ), набуває значення хибності тоді і тільки тоді, коли A – істинне, а B – хибне. В утвореному реченні A B висловлювання A називають засновком (умовою), а B – наслідком

(висновком). Природною мовою причинно-наслідковий зв'язок між висловлюваннями A і B описують такими зворотами : “ Якщо A, то B ”, “ A є достатньою підставою для B” і таке інше.

Приклад 1.3.1. Для висловлювання “Якщо іде дощ, то щоб не змокнути, я відкриваю парасольку над головою” записати формулу висловлювань і побудувати таблицю істинності.

Розв’язання. Для цього висловлювання введемо атоми : A – “ йде дощ ”, B – “ щоб не змокнути, я відкриваю парасольку над головою ”.

Тоді цьому висловлюванню відповідатиме формула A B, а результати інтерпретації поданого висловлювання наведені в таблиці істинності (табл. 1.3.1).

Таблиця 1.3.1 – Інтерпретація результатів

A	B	A B	Результат
X	X	I	залишуся сухим
X	I	I	залишуся сухим
I	X	X	намокну
I	I	I	залишуся сухим

За допомогою імплікації можна формально виразити поняття достатньої та необхідної умови. Наприклад, якщо A B, то це означає, що “A є достатньою умовою для B ” і одночасно, що “ B є необхідною умовою для А ”. Тобто необхідність для А можна записати у формі “В тільки, якщо А” - A B. Твердження “А є необхідною і достатньою умовою для В” еквівалентне подвійній імплікації . Покажемо це за допомогою таблиці істинності (табл. 1.3.2).

Таблиця 1.3.2

X	X	I	I	I
X	I	I	X	X
I	X	X	I	X
I	I	I	I	I

Із таблиці істинності бачимо, що висловлювання істинне тоді і тільки тоді, коли висловлювання та істинні або хибні одночасно, що й відповідає еквіваленції. Але не за всіх умовних висловлювань буває так.

Приклад 1.3.2. У висловлюванні “ Якщо число n парне ( ), то n ділиться націло на 4 ( ) ” показати необхідність і достатність умови й записати її істинність через знак імплікації.

Розв’язання. Оскільки жодне непарне число на 4 не ділиться, то це умова є необхідною, але в той самий час є парні числа, які не діляться націло на 4, наприклад 10. Тобто очевидним є відсутність достатності умови у заданому висловлюванні. Тому задане висловлювання за умовою хибне, а правильною імплікацією для заданої умови буде .

Приклад 1.3.3. У висловлюванні “ Якщо геометрична фігура – квадрат ( ), то вона – прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою ( ) ” показати необхідність і достатність умови і записати її через знак логічного зв’язку.

Розв’язання. За умовою квадрат ( ) – це прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою ( ), що є необхідною і достатньою умовою для виконання , і тому логічним зв’язком між даними висловлюваннями буде еквіваленція .

З умовним висловлюванням зв’язані ще три висловлювання : конверсія, інверсія та контрапозиція. Вони визначаються таким чином: – конверсія висловлювання ; – інверсія висловлювання ; – контрапозиція висловлювання .

Приклад 1.3.4. Для висловлювання “ Якщо він добре грає у футбол, то він популярний ” знайти конверсію, інверсію та контрапозицію.

Розв’язання. Відповідно до їх означення шукані результати матимуть такий зміст.

Конверсія – “ Якщо він популярний, то він добре грає у футбол ”. Інверсія – “ Якщо він недобре грає у футбол, то він непопулярний ”. Контрапозиція – “ Якщо він непопулярний, то він недобре грає у футбол ”.

Означення 1.3.1. Висловлювання ~ називають еквівалентністю ( еквіваленцією ) тоді і тільки тоді, коли висловлювання і хибні або істинні одночасно. Ця операція відповідає у природній мові зворотам :

“ тоді і тільки тоді, коли ”, “ для того, щоб ”, “ необхідно і достатньо ”.

Із таблиці істинності (табл. 1.3.1) випливає, що вираз ~ еквівалентний виразу . Це свідчить про те, що логічна еквівалентність зображує імплікацію в обох напрямках. Виходячи з означення еквівалентності, формула для неї має такий вигляд: ~ .

Приклад 1.3.5. Записати у вигляді формули логіки висловлювань і визначити істинне значення таких висловлювань :

1. “Для того щоб 4 : 2 = 2, необхідно і достатньо, щоб 4 - 2 = 2 ”. 2. “ 4 : 2 = 3 рівнозначне 4 - 2 = 1 ”.

Розв’язання. Вводимо позначення атомів :

A = 4 : 2 = 2 ; B = 4 - 2 =2 ;

C = 4 : 2 = 3 ; D = 4 - 2 = 1.

Тоді можна сказати, що висловлювання 1 відповідає формулі ~ , а висловлювання 2 – формулі ~ . Якщо атоми і істинні, а атоми і хибні, то визначення істинності значень складних висловлювань таке:

~ I ~ I = I; ~ = X ~ X = I.

Прочитання формул складних висловлювань може бути неоднозначним, якщо не ввести дужки, що вказують, у якому порядку зв’язуються між собою символи. Послідовність виконання (пріоритет операцій) у логіці висловлювань є такою : , , , , ~ . Наприклад, такі вирази без дужок дорівнюють формулам із дужками

; ~ ~ .

У логіці висловлювань будь-яку її формулу можна поставити у відповідність деякому складному висловлюванню природної форми і навпаки. Для того щоб перетворити складне речення у формулу логіки висловлювань, необхідно виконати такі кроки алгоритму.

1. Шляхом аналізу складного речення визначити, є воно скороченим чи ні.

2. Якщо речення скорочене, то його потрібно замінити повним варіантом.

3. У повному варіанті виділити прості речення й взяти їх у дужки, залишивши поза дужками службові слова.

4. Процес взяття у дужки повторювати доти, поки повністю все складне речення не виявиться взятим у дужки.

5. Замінити сполучники та звороти природної мови відповідними логічними зв’язками, а прості речення –атомарними формулами.

Приклад 1.3.6. Речення “ Оскільки я ліг пізно спати, я проспав і через це не пішов на роботу ” записати у вигляді формули логіки висловлювань.

Розв’язання. У цьому складному реченні виділимо прості речення та візьмемо їх у дужки – “Оскільки (я ліг пізно спати), (я проспав) і через це не (пішов на роботу) ”.

Усі три прості речення зв’язані службовими словами, що виражають логічні відношення, а перед третім реченням стоїть частка “ не ”, що відповідає логічній операції

“ заперечення ”. Оскільки третє речення не є повним, то доповнюємо його відсутнім підметом “я” і введемо атоми :

A – “ Я ліг пізно спати ”, B – “ Я проспав ”, C – “ Я пішов на роботу ”.

Замінивши прості речення символами атомів, а службові слова – логічними зв’язками, отримаємо формулу логіки висловлювань  .