Класична математична логіка

Розділ 1

Основні поняття логіки висловлювань

1.1. Основні визначення

Логіка як самостійна наука виникла у IV столітті до н. е. в працях Аристотеля, який, опираючись на накопичені до нього знання, доповнив їх своїми власними й створив систему формального логічного висновку, що полягає в тому, що в міркуваннях одні пропозиції випливають з інших через певний зв'язок між їх формою і структурою незалежно від їх змісту.

Революційні наукові зворушення кінця ХІХ – початку ХХ століть торкнулися й логіки Аристотеля, шляхом реалізації ідеї Г. В. Лейбніца, запропонованої ним ще в кінці ХVII століття, про застосування в логіці математичної символіки і побудов логічних числень. Ця ідея реалізована у працях Д. Буля, Ч. С. Пірса, Ф. Л. Г. Фреге поряд із багатьма дослідженнями інших вчених.

Класична математична логіка містить два основні розділи: логіку висловлювань і логіку предикатів. Для їх побудови існують два підходи (мови), на основі яких базуються два варіанти формальної логіки: алгебра логіки і логічне числення. Між основними поняттями цих мов спостерігається взаємно однозначна відповідність, але, строго кажучи, ці терміни не є синонімами.

За своєю суттю логіка висловлювань – це наука про міркування, засновки і висновки яких складаються із висловлювань.

Означення 1.1.1. Висловлюванням називають осмислений вираз звичайної мови, якому можна приписати значення істинності.

Таким виразом може стати твердження або розповідне речення, про яке можна сказати, істинне воно чи хибне.

Рисунок 1.1 – Складові частини математичної логіки

Необхідно мати на увазі, що в логіці висловлювань не існує засобів, щоб установити істинність чи хибність простого висловлювання. Якщо істинність чи хибність висловлювання не можна встановити взагалі (тобто за допомогою інших наук), то таке висловлювання не розглядається в логіці висловлювань (наприклад, наказові висловлювання, безглузді твердження).

Означення 1.1.2. Значення істинності – це абстрактний об’єкт, що ставиться у відповідність висловлюванню: істина – коли висловлювання відповідає дійсності, хибність – коли висловлювання не відповідає дійсності.

Позначають : “Істина ” – I, T (True), або 1; “Хибність” – , (False) або 0.

Приклад 1.1.1. Визначити, які із цих речень є висловлюваннями : “Дніпро впадає в Чорне море ”; “Дніпро впадає в Азовське море ”; “Хто ви?”; “Відстань від Землі до Сонця дорівнює 150 млн км ”.

Розв’язання. Перші два речення є висловлюваннями, причому перше є істинним, а друге – хибним висловлюванням. Третє речення не є висловлюванням, оскільки воно не розповідне. Четверте речення також не є висловлюванням. Його істинність або хибність залежить від потрібної точності.

Класична логіка висловлювань оперує лише двома значеннями істинності : І та Х, але не одночасно тим й іншим, тому її називають двозначною (бінарною) логікою.

Розповідні речення можуть бути простими та складними. Кожне просте речення є самостійним твердженням і не може бути розбитим на більш дрібні речення.

Означення 1.1.3. Атомом (елементарним висловлюванням) називається таке висловлювання, яке є простим розповідним реченням, тобто не має складових частин.

Для позначення атомів використовують як символи літери латинського алфавіту з індексами або без них.

Складні речення, як правило, складаються з простих речень, поєднаних сполучниками. Тобто прості речення, які представляють атоми та сполучники, є елементами словника, необхідного для формалізації природної мови за допомогою логіки висловлювання. Значення істинності складного висловлення визначається значеннями істинності його складових частин.

Алгебра висловлень цілковито абстрагується від смислового значення висловлювань, беручи до уваги лише їх предметне значення, тобто денотат, яким є такі абстрактні об'єкти, як "істина" та "хибність".

Означення 1.1.4. Інтерпретацією висловлювань називають приписування значень істинності атомам, із яких побудовані висловлювання.

Якщо висловлювання містить n атомів, то можна скласти інтерпретацій.

Означення 1.1.5. Однозначно визначеним висловлюванням називають висловлювання, значення істинності якого не залежить від ситуації. Наприклад , “ 3 3=9 ” = I. Але існують висловлювання, які можуть набувати різних значень. Наприклад, “Завтра буде сніг” може набути значення “Істина ” чи “Хибність ” залежно від конкретної ситуації.