Елементи комбінаторики

1. Правила суми і добутку:

Комбінаторика – це розділ математики, що вивчає розташування, впорядкування, вибір і розподіл елементів з фіксованої множини. Наприклад, маємо множину В={0,1}. Скільки комбінацій двозначних чисел можнаутворити з цих символів:10, 11 – 2 числа.

При великому числі можливих наслідків випробування процедури прямого перебору можливих варіантів малоефективне. На допомогу приходять комбінаторні методи, в основі яких лежать два настутних правила.

Правило додавання. Якщо дві взаємовиключні дії можуть бути виконані відповідно n₁ та n₂ способами, тоді якусь одну з цих дій можна виконати n₁ + n₂ способами.

Приклад 1. З міста А в місто В можна добратися 4 потягами, 2 літаками, 6 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В.

Розв’язання. Проїзд з А у В на потягу, літаку або автобусом є взаємовиключними операціями, тому загальну кількість маршрутів можна одержати як суму способів пересування, тобто N = n₁ + n₂ + n₃ = 4 + 2 + 6 =12 способів.

Правило множення. Нехай дві виконувані одна за одною дії можуть бути здійснені відповідно n₁ та n₂ способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані N = n ₁ ・ n ₂ способами.

Приклад 2. У чемпіонаті країни з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна і бронзова медалі?

Розв’язання. Одна з медалей може бути розподілена 16-ма способами, тоді друга – 15-ма, третя – 14-ма способами. Ці три дії виконуються одночасно, тобто N = n₁ ‧ n₂ ‧ n₃ = 16‧15‧14 =3360 способів.

Іноді для розрахунку кількості способів виконання дії треба застосувати і правило множення і додавання.

Приклад 3. Скільки сигналів можна подати з корабля за допомогою чотирьох прапорів різного кольору, розміщуючи їх на щоглі, якщо використовувати різну кількість прапорів?

Розв’язання. Сигнали можна подавати чотирма, трьома, двома і одним прапорами. Відповідно до правила множення, кількість можливих способів подачі сигналу з 4 прапорів складе n₁ = 4 ‧3 ‧2 ‧1 = 24 способів, для сигналу з 3 прапорів – n₂ = 4‧3‧2‧ = 24 способів, для сигналу з 2 прапорів маємо n₃ = 4‧3‧ = 12, а для сигналу з 1 прапора n₄ = 4 способа. Загальну кількість сигналів можна одержати як суму способів для сигналів з 4, 3, 2 або 1 прапорів, N = n₁ + n₂ + n₃ + n₄ = 24 + 24 + 12 + 4 = 60 способами.

Приклад 4. Код Морзе – символ до 5 знаків (·, - ). Скільки таких символів існує?

Розв’язання. З 1 знака – n₁ = 2¹ = 2 символи, з 2 знаків – n₂ = 2² = 4 символи, з 3 – n₃ = 2³ = 8, з 4 – n₄ = 2⁴ = 16, з 5 – n₅ = 2⁵ = 32, всього – N = n₁ + n₂ + n₃ + n₄ + n₅ = 62 символи.

2. Перестановки та розміщення без повторень

Упорядковані підмножини з k елементів множини М – називаються k-перестановками. Наприклад, M={1,6,7}, упорядковані підмножини тієї ж потужності, що і множина: (1,6,7), (1,7,6), (6,1,7), (6,7,1), (7,1,6), (7,6,1).

Кількість перестановок з k елементів множини називається перестановкою по k і розраховується по формулі P_k = k!

k-перестановки множини М з n елементів називають розміщення з n по k елементів. Наприклад, M={1,6,7} - множина містить 3 елементи, упорядковані підмножини з2-х елементів: (1,6), (1,7), (6,1), (6,7), (7,1), (7,6).

Кількість розміщень з n по k розраховуємо по формулі A_n^k = n!/(n-k)!

Розміщення з n по n є перестановка по n: A_nⁿ =P_n = n!

Приклад 4.: Для множини М = (1, 2, 3) знайти кількість перестановок по 2 і 3 елементи.

Розв’язання Кількість перестановок з 3-х по 3 - n₁ = P₃, а з 3-х по 2 - n₂ =A₃². Перестановки з 2-х або 3-х елементів є взаємовиключними, то ж виконання однієї ї них можна здійснити N= способами.

Приклад 5. Скільки різних двозначних чисел можна скласти за допомогою трьох карток з цифрами 1, 2, 3?

Розв’язання .Загальна кількість можливих двозначних чисел визначається відповідно до виразу : .