3. Мода і медіана

Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою і медіаною.

Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень:

Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше.

Медіана вибірки – це число, яке «поділяє навпіл» упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки.

Приклад Нехай дано вибірку 4, 3, 8, 2, 6, 4, 6, 7, 6, 7. Знайдемо центральні тенденції вибірки.

Спочатку впорядкуємо вибірку і запишемо варіаційний ряд: 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8.

Мода даної вибірки , бо число 6 зустрічається найчастіше.

Медіана даної вибірки , бо вибірка має парне число значень і її медіана дорівнює півсумі двох її центральних значень: .

Середнє значення вибірки:

4. Середні значення

Математичним сподіванням випадкової величини називається сума добутків всіх значень випадкової величини на відповідні відносні частоти .

Математичне сподівання показує, на яке середнє значення випадкової величини можна сподіватися в результаті експерименту (при значній кількості повторень експерименту). За допомогою математичного сподівання можна порівнювати випадкові величини.

Наприклад, нехай кількості очок, що вибиваються при одному пострілі кожним з двох вправних стрільців, відповідають такі закони розподілу:

	8	9	10			8	9	10
	0,4	0,1	0,5			0,1	0,6	0,3

Щоб з'ясувати, який із стрільців краще стріляє, знаходять математичне сподівання для кожної випадкової величини:

Середня кількість очок, які вибиває другий стрілець при одному пострілі, дещо вища, ніж у першого. Це дає підставу зробити висновок про те, що другий стрілець стріляє трохи краще, ніж перший.

При значній кількості експериментів середнє арифметичне всіх значень випадкової величини наближається до її математичного сподівання.

Розглянемо вибірку 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 5.

Обсяг вибірки , середнє значення .

Знайдемо відхилення кожного значення від середнього значення . Результати подамо у наступній таблиці:

Значення	Середнє арифметичне	Відхилення

Для будь-якої вибірки сума всіх відхилень дорівнює нулю , тому усі відхилення підносять до квадрата, знаходять середнє арифметичне цих квадратів і добувають з нього квадратний корінь. Так знаходять середнє квадратичне відхилення (грец. «сигма»).

Величину в статистиці називають дисперсією.

Приклад Знайдемо середнє квадратичне відхилення значень вибірки: 5, 8, 10, 12, 17, 20. Процес розв’язання подамо у таблиці.

Значення	Середнє арифметичне	Відхилення	Квадрат відхилення
5			49
8			16
10			4
12			0
17			25
20			64

Отже, квадратичне відхилення

Якщо вибірку задано статистичним рядом (статистичною таблицею), то

Завдання

Для статистичного ряду знайти середнє значення та середнє квадратичне відхилення.

		0	3	5	8
	2	1	4	2	1

Обсяг вибірки:

Середнє значення вибірки:

Для знаходження середнього квадратичного відхилення створимо додаткову таблицю:

Значення	Частота	Відхилення	Квадрат відхилення
	2		14,44
0	1		7,84
3	4		0,04
5	2		4,84
8	1		27,04

Приклад

Два токарі виточували однакові деталі, причому перший працював повний робочий тиждень, а другий – 4 дні. Порівняйте стабільність роботи токарів, використовуючи дисперсію. Відомості про кількість виготовлених ними деталей кожного дня наведено в таблиці:

День тижня	Кількість деталей, виготовлених за день
	першим токарем	другим токарем
Понеділок	53	52
Вівторок	54	46
Середа	49	53
Четвер	48	49
П’ятниця	46	--

Розв'язання

Знайдемо середні значення величин і :

Очевидно, що , тобто обидва токарі за тиждень виготовили однакову кількість деталей.

Обчислимо суму квадратів відхилень від середніх значень, послідовно записуючи результати у таблицю:

День тижня	Значення		Відхилення		Квадрат відхилення
Понеділок	53	52	3	2	9		4
Вівторок	54	46	4		16		16
Середа	49	53		3	1		9
Четвер	48	49			4		1
П’ятниця	46	--		--	16		--
Сума:						46		30

Знайдемо значення дисперсії:

Бачимо, що . Отже, другий токар працює більш стабільно, бо його величина дисперсії менша.