4. Кути у просторі.

Кутом між площинами і , які перетинаються по прямій , називається кут між прямими, по яких третя площина , яка перпендикулярна до лінії перетину, перетинає площини і .

Д ля побудови кута між площинами достатньо вибрати точку на ребрі утвореного двогранного кута (лінія перетину двох площин) і провести перпендикуляри в кожній із заданих площин. Кут між побудованими перпендикулярами і буде кутом між заданими площинами.

Кутом між прямою і площиною, яка її перетинає, називається кут між цією прямою та її проекцією на цю площину.

Отже, для побудови такого кута необхідно побудувати перпендикуляр з будь-якої точки заданої прямої на задану площину і проекцію прямої на площину. Кут між побудованою проекцією і заданою прямою буде шуканим кутом між прямою і площиною.

Кут між паралельними прямими і площинами вважається рівним .

Кут між перпендикулярними прямою і площиною становить .

К утом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Якщо кут між мимобіжними прямими дорівнює , то їх називають перпендикулярними.

Ортогональна проекція.

Ортогональною проекцією точки на площину називається основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину.

Проекцією відрізка на площину називається відрізок, що з’єднує проекції його кінців.

Проекцією многокутника на площину називається фігура, обмежена проекціями сторін многокутника на цю площину.

Площа ортогональної проекції многокутника дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

2. Запитання для самоперевірки

1. Як визначається координата точки? (на прямій, на площині, у просторі)

2. Як називаються осі координат у просторі?

3. На скільки частин ділять осі координатний простір? Як вони називаються?

4. Як знайти довжину відрізка?

5. Як знайти середину відрізка?

6. Як знайти координати точки, яка ділить відрізок у певному відношенні?

7. Які перетворення у просторі Ви знаєте?

8. Що називають рухом?

9. Як побудувати відрізок, симетричний даному відносно деякої площини?

10. Які симетрії Вас оточують? Наведіть приклади.

11. Що таке паралельне перенесення?

12. Які фігури називають гомотетичними? Побудуйте будь-які гомотетичні фігури (на Ваш вибір) з коефіцієнтом 2.

13. Які фігури називаються подібними?

14. Які кути у просторі Вам відомі? Дайте їм визначення (кут між прямими, кут між прямою і площиною, кут між площинами)

15. Що називається ортогональною проекцією многокутника на площину?

16. Побудуйте ортогональну проекцію довільного 4-кутника.

3. Задачі

1. Установіть, чи лежить дана точка на координатній осі:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

У разі позитивної відповіді вкажіть цю вісь.

2. Установіть, чи належить дана точка координатній площині:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

3. На якій відстані від координатних площин знаходиться точка ? Виконайте побудову цієї точки.

4. Знайдіть координати середини відрізка та виконайте побудови, якщо:

1. , ;

2. , .

5. Точка - середина відрізка . Знайдіть координати точки , якщо , .

6. Знайдіть координати точки, яка ділить відрізок у відношенні , рахуючи від точки , якщо , .

7. Точки і - середини сторін і трикутника відповідно. Знайдіть координати вершин і , якщо вершина має координати .

8. Знайдіть відстань між точками і , якщо:

1. , ;

2. , .

9. У трикутнику відомо, що , , . Знайдіть довжину середньої лінії трикутника , де і - середини сторін і відповідно.

10. Відстань між точками і дорівнює 7. Знайдіть .

11. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок і .

12. Запишіть координати точок, симетричних точкам , , , , , відносно: 1) початку координат; 2) площини ; 3) площини ; 4) осі .

13. Точки і симетричні відносно точки . Знайдіть її координати.

Викладач: Бабич Наталія Володимирівна

Тел.: 093-857-72-57

vk.com/id283568940

8