2. Відстань між точками. Координати середини відрізка.

На координатній прямій ми шукаємо відстань між точками (довжину відрізка) як модуль різниці координат:

Яка довжина відрізка, зображеного на координатній прямій?

Перевіримо:

На координатній площині використовуємо схожу формулу з використанням обох координат точок:

1

Знайдіть відстань між точками і .

Перевірте себе:

Координатний простір не виняток – використовуємо ту ж формулу, але уже з усіма трьома координатами.

Отже, відстань між точками у просторі дорівнюватиме:

Використовуючи формулу, знайдіть відстань між просторовими точками, зображеними на рисунку.

Перевірте себе: знайдемо координати точок

Координати середини відрізка знаходяться як середнє арифметичне координат його кінців. Якщо задано точки , то координати точки дорівнюватимуть:

Координати точки, що поділяє відрізок у заданому відношенні теж можна знайти. Якщо відоме відношення відрізків, на які поділено відрізок точкою , наприклад, , то координати будуть:

3. Перетворення фігур у просторі.

Перетворення фігури у фігуру називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто переводить будь-які дві точки і фігури в точки і фігури так, що .

С иметрія відносно площини – перетворення фігури в , при якому кожна точка фігури переходить в точку – симетричну до відносно площини .

Нехай – довільна фіксована площина. З точки опускають перпендикуляр на площину (точка – основа перпендикуляра) і на його продовженні (за точку ) відкладають відрізок . Точки та називають симетричними відносно площини . (рис 1)

На рис 2 зображено дві сфери, симетричні відносно площини .

Якщо перетворення симетрії відносно площини переводить фігуру саму в себе, то фігура є симетричною відносно площини , а площина називається площиною симетрії.

На рис 3 зображено площини симетрії сфери. У сфери таких площин симетрій нескінченна множина.

У куба також є площини симетрії (рис 4), проте їх всього вісім.

Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка фігури переходить у точку , де – сталі. Паралельне перенесення у просторі задається формулами:

.

Властивості паралельного перенесення:

Паралельне перенесення є рухом.

При паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельних (або співпадаючих) прямих на одну і ту саму відстань.

При паралельному перенесенні пряма переходить в паралельну пряму (або сама в себе).

Які б не були дві точки, існує, і до того ж єдине, паралельне перенесення, при якому одна точка переходить в іншу.

При паралельному перенесенні у просторі кожна площина переходить або в себе, або у паралельну їй площину.

Гомотетія.

Нехай – дана фігура і – задана точка. Проведемо через довільну точку фігури промінь і на ньому відкладемо відрізок , де – додатне число.

Перетворення фігури , при якому кожна її точка переходить у відповідну їй за побудовою точку , називається гомотетією відносно центра . Число називається коефіцієнтом гомотетії, а фігури і називаються гомотетичними.

Перетворення фігури в фігуру називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюється (збільшуються або зменшуються) в одне й те саме число разів.

Якщо довільні точки і фігури при цьому перетворенні переходять в точки і фігури , то , де .

Число називається коефіцієнтом подібності ( ).

При перетворення подібності є рухом.