Вариант 244.
Задача №1.
Определить первичные и вторичные параметры передачи симметричного кабеля.
Найти также их составляющие: R0 – сопротивление по постоянному току; Rп.э – сопротивление за счёт поверхностного эффекта; Rбл – сопротивление за счёт эффекта близости; Lмп – межпроводниковую индуктивность; Lвп – внутрипроводниковую индуктивность; αм – затухание за счёт потерь в металле; αд – затухание за счёт потерь в диэлектрике.
Параметры кабеля представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Изоляция |
Толщина Изоляции Δ, мм |
εэф |
Частота f, кГц
|
tgδ·10-4 |
Скрутка |
Расчётный диаметр |
Материал проводника |
Диаметр проводника, мм |
Кордельно-полистирольная |
0,28 |
1,2…1,3 |
550 |
20 |
Двойная звездная |
3,98·d1 |
Алюминий |
0,6 |
Решение.
Первичными параметрами симметричного кабеля являются:
R – активное сопротивление симметричной кабельной цепи переменному току;
L – индуктивность цепи;
С – ёмкость кабельной цепи;
G – проводимость изоляции кабельной цепи.
Уравнение для расчёта сопротивления симметричного кабеля имеет вид ([1], 5.64]):
где
– сопротивление постоянному току;
– сопротивление
за счёт поверхностного эффекта;
– сопротивление
за счёт эффекта близости;
– активное
сопротивление проводника;
– коэффициент
укрутки проводов кабеля;
– коэффициент
потерь для металла;
– радиус
голого проводника;
– коэффициент,
учитывающий вид скрутки (при парной
скрутке р=1, при звёздной – р=5, при двойной
парной – р=2);
F(kr), G(kr), H(kr) – специальные функции, полученные с использованием видоизменённых функций Бесселя;
d – диаметр голого проводника;
а – расстояние между центрами проводников.
Сопротивление прямого провода определим по формуле ([2], 1.4]):
,
где
– удельное сопротивление алюминия при
t=20 °C.
Тогда
Коэффициент укрутки проводов кабеля характеризует удлинение жил относительно длины кабеля. Так как структура кабеля не определена условием задачи в полной мере, выберем повивную систему скрутки групп в сердечник кабеля, в центральном повиве – 1 группа. Будем рассматривать симметричную кабельную цепь, расположенную в третьем повиве.
Диаметр изолированного проводника равен:
Диаметр центрального повива определим по формуле
Средняя толщина повива равна
Рассчитаем параметры цепи, находящейся в третьем повиве. Определим средний диаметр третьего повива:
Коэффициент укрутки проводов кабеля определяется выражением ([2], 1.1)
где h – шаг скрутки. Его величина обычно составляет 150…300 мм. Выберем h=250
мм. Тогда
Теперь рассчитаем сопротивление цепи кабеля постоянному току ([2], 1.2)
Коэффициент вихревых токов определим по формуле
где
– абсолютная
магнитная проницаемость;
– магнитная
проницаемость вакуума;
– относительная
магнитная проницаемость проводника
(для медных и алюминиевых проводов
);
– удельная
проводимость алюминия.
Тогда
Рассчитаем коэффициент kr (произведение коэффициента вихревых токов на радиус голого проводника)
С помощью таблицы ([1], 5.1) найдём значения специальных функций F(kr), G(kr), H(kr)
Определим сопротивление за счёт поверхностного эффекта
Расстояние между проводниками
Определим сопротивление за счёт эффекта близости
Сопротивление кабельной цепи переменному току равно (1.1)
Индуктивность
цепи в целом определяется суммой внешней
(межпроводниковой)
и внутренней (внутрипроводниковой)
индуктивностей:
Межпроводниковая индуктивность определяется выражением ([2], 1.7)
Внутрипроводниковая индуктивность равна
Общая индуктивность симметричной кабельной цепи равна (1.3)
Ёмкость симметричной кабельной цепи с учётом близости соседних пар определяется
выражением ([1], 5.68)
где
- эффективная диэлектрическая проницаемость
изоляции;
-
поправочный коэффициент, характеризующий
близость соседних пар:
Подставляя данные значения, получаем:
Проводимость изоляции G характеризует потери энергии в изоляции проводов кабеля.
Величина проводимости определяется выражением ([1], 5.69)
где
– проводимость изоляции по постоянному
току,
– проводимость
изоляции переменному току,
С – ёмкость симметричной цепи,
tgδ – тангенс угла диэлектрических потерь.
Для
кабельных симметричных цепей величина
очень
мала по сравнению с
,
и ей можно пренебречь. Тогда
Вторичными параметрами симметричной цепи являются:
Zв – волновое сопротивление;
α - коэффициент затухания;
β – коэффициент фазы;
V – скорость распространения энергии.
Волновое сопротивление определяется по формуле ([2], 1.40)
Преобразуем
Подставим числовые значения и представим комплексное число в экспоненциальном виде
Коэффициент затухания равен сумме двух составляющих
где
- коэффициент затухания в металле,
-
коэффициент затухания в диэлектрике.
В общем виде выражение для определения коэффициента затухания имеет вид ([2], 1.65)
Затухание в диэлектрике равно
Практически всё затухание происходит в металле
Коэффициент фазы определяет угол поворота вектора тока на протяжении одного километра. В общем виде выражение для определения коэффициента затухания имеет вид ([2], 1.71)
Скорость распространения электромагнитной энергии является функцией частоты и фазовой постоянной, которая в свою очередь зависит от первичных параметров линии. В общем виде она определяется по формуле:
Задача №2.
Определить первичные и вторичные параметры передачи коаксиального кабеля.
Параметры кабеля представлены в таблице 2.
Таблица 2.
-
Изоляция
εэф
Частота
f, МГц
tgδ·10-4
Материал
проводника
Диаметр внутреннего и внешнего проводников d/D, мм
Полиэтиленовая (спираль)
1,1
60
0,6
Алюминий/ Медь
1,8/6,6
Решение.
При
расчёте на частотах более 60 кГц
сопротивление коаксиального кабеля в
основном определяется суммой сопротивлений
внутреннего проводника
и внешнего проводника
и определяется по формуле ([1], 5.28)
где
,
– коэффициенты вихревых токов для меди
и алюминия;
– удельная
проводимость меди при t=20 °C;
– удельная
проводимость алюминия при t=20 °C;
d – диаметр внутреннего проводника, мм;
D – диаметр внешнего проводника, мм.
Коэффициенты вихревых токов равены
Тогда по формуле (2.1) получаем:
Индуктивность
коаксиального кабеля состоит из суммы
внутренней индуктивности внутреннего
проводника
и внешнего проводника
и наружной межпроводниковой индуктивности
.
На высоких частотах определяется по
упрощённой формуле ([1], 5.31)
Значение ёмкости коаксиальной пары определим по формуле
Расчёт проводимости проводим по формуле ([1], 5.36) при допущении, что сопротивление изоляции постоянному току очень большое. Тогда
При расчётах вторичных параметров учтём, что коаксиальные кабели практически используются на частотах более 60 кГц, где R<<ωL и G<<ωC, поэтому вторичные параметры обычно рассчитываются по упрощённым формулам.
Для среды с волновое сопротивление можно определить из выражения ([1], 5.42)
В области высоких частот коэффициент затухания, как и другие вторичные параметры передачи коаксиальных кабелей, целесообразно выражать непосредственно через габаритные размеры (d и D) и параметры изоляции (ε и tgδ) (формула ([1], 5.38))
Коэффициент фазы определяет угол сдвига между током (или напряжением) на протяжении одного километра
В области высоких частот, скорость распространения энергии практически не зависит от частоты и определяется по формуле
Задача №3.
Определить параметры передачи: критическую частоту, критическую длину волны, волновое сопротивление, затухание, фазовую и групповую скорости, коэффициент фазы цилиндрического волновода с параметрами, приведёнными в таблице 3.
Таблица 3.
Диаметр волновода, см |
Вид моды |
Частота f, ГГЦ |
Материал проводника |
|
9 |
|
18 |
Медь |
5,7 |
Решение.
Критическая длина волны определяется выражением ([1], 5.101)
где
– корни, при которых функции Бесселя
имеют нулевые значения;
m – индекс, указывающий на принадлежность корня к функции Бесселя порядка m;
n – порядковый номер корня;
а – радиус волновода.
Для
типа волны
значение
.
Тогда
Критическая частота равна
где
– скорость света в вакууме.
Частота равна
Считая,
что волновод заполнен воздухом (
,
),
волновое число среды распространения
равно
Коэффициент фазы равен ([1], 5.101)
Обозначим
Тогда
Фазовая скорость определяется по выражению ([1], 5.103)
Групповая скорость определяется по выражению ([1], 5.104)
Волновое сопротивление заполняющего волновод диэлектрика равно
Волновое сопротивление для волны Е-типа определим по выражению ([1], 5.105)
Активная часть волнового сопротивления металла стенок волновода равна
Коэффициент затухания для волны Е-типа равен ([1], 5.106)
