Формула Тейлора для многочленов
Теорема (уточнение теоремы о разложении по степеням двучлена). Любой ненулевой многочлен f(x) над коммутативным кольцом K с единицей однозначно разлагается по степеням двучлена x – , где – любой элемент кольца K т.е.
f(x) = (x – )nrn + …+ +(x – )r1 + r0 ,
где n = d(f), а коэффициенты r0 , … , rn K определены однозначно и удовлетворяют равенствам (i !)ri = f(i)() (здесь, как обычно f(0)() = f()).
Доказательство.
Существование разложения многочлена
по степеням двучлена уже было доказано,
так что нужно только проверить равенства
(i
!)ri
= f(i)()
(0
i
n).
Они следуют из формулы f(i)(x)
=
(s+1)…(s+i)(x–)srs+i
для
вычисления производных порядка i
1: если в
неё подставить x
= ,
то получим f(i)()
= (i
!)ri
.
При i
= 0 подстановку
нужно сделать в разложение многочлена
f(x)
=
(x–)srs
.
Для доказательства
формулы i-й
производной
проведём
индукцию по i,
база которой при i
= 1 обеспечивается
разложением f(x)
= n(x
– )n–1rn
+ …+ 1(x
– ).
Если формула
уже доказана для i
= 1, … , k,
то f(k+1)(x)
= (f(k)(x))
=
(
(s+1)…(s+k)(x–)srs+k)
= = (
s(s+1)…(s+k))(x–)s–1rs+k
= { t = s–1 } =
(t+1)…(t+k+1))(x–)trt+k+1
,
что
и
требовалось.
Теорема
доказана.
Теорема (формула Тейлора). Пусть f(x) – многочлен степени n над полем F, в котором обратимы все элементы i !1 (это верно, например для полей Q , R , C). Тогда для любого F имеют место формулы Тейлора:
f(x+)
= f()
+
x
+ … +
xi
+ … +
xn
или
f(x) = f() + (x–) + … + (x–)i + … + (x–)n .
В частности, при
= 0 получаем равенство f(x)
= f(0)+
x
+…+
xn
,
из
которого следует, что
fi
=
(0
i
n)
.
Доказательство. По предыдущей теореме имеет место разложение многочлена f(x) по степеням двучлена (x–): f(x) = (x – )nrn + …+(x – )r1 + r0 , где n = d(f), а коэффициенты r0 , … , rn F определены однозначно и удовлетворяют равенствам (i !)ri = f(i)() (здесь, как обычно f(0)() = f()). Таким образом, ri = f(i)()(i !1) –1 = , и подставляя вместо x двучлен x+, получим формулу Тейлора. Теорема доказана.
Пример: Разложить многочлен f(x) = x4 –1 R[x] по степеням двучлена x+2.
Для = –2 имеем: f() = (–2)4–1 = 15, f(x) = 4x3, f() = 4(–2)3 = –32, f(x) = 12x2, f() = 12(–2)2 = 48, f(x) = 24x, f() = 24(–2) = –48, f(4)(x) = 24, f(4)() = 24.
Поэтому f(x)
= f()
+
(x–)+
(x–)2
+
(x–)3+
(x–)4
= = 15 – 32(x+2)
+ 24(x+2)2
– 8(x+2)3
+ (x+2)4.
Упражнения: 1. Разложите многочлены x3–1, x4–1, x5–1 по степеням x–1, x+1.
2. Разложить многочлен xn+1 Q[x] по степеням x–1, x+1, x–2.
3. Разложите многочлен x(x+1)(x+2)…(x+n) по степеням x, x+1.