§ 4. Многочлены как функции

Пусть f(x) = f_nxⁿ + … + f₁x + f₀  K[x] ,   K . Тогда элемент f_nⁿ + … + f₁ + f₀  K называется значением многочлена f(x) в точке  (на элементе ) и обозначается через f(). Если f() = 0, то  называется корнем многочлена f(x).

Таким образом, любой многочлен f(x)  K[x] можно рассматривать как отображение f : K  K, которое сопоставляет каждому   K значение f(). Основной вопрос, который будет обсуждаться в этом параграфе формулируется так: какие многочлены представляют одну и ту же функцию ? Понятно, что равные многочлены будут определять и равные функции. Верно ли обратное: (   K f() = g())  (f(x) = g(x)) ?

Замечание. В общем случае это не верно: если K = Z_p (p – простое число), f(x) = x^p, g(x) = x , то    K f() = g(), но f(x)  g(x). Это – (малая) теорема Ферма, доказанная ранее в качестве приложения теории групп. Если Вы забыли доказательство, докажите сами сформулированное утверждение (по крайней мере) для p = 2, 3, 5, 7.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать лишь коммутативные кольца, т.к. для них значения многочленов ведут себя более естественно:

Теорема (о значении многочлена в коммутативном кольце). Если K – коммутативное кольцо, f(x), g(x)  K[x], s(x) = f(x) + g(x), p(x) = f(x)g(x) , то для любого   K верны равенства s() = f() + g(), p() = f()g(). Таким образом, получаем гомоморфизм колец v_ : K[x]  K , задаваемый правилом v_(f(x)) = f().

Доказательство. Если f(x) = , g(x) = , то s(x) = , p(x) = . Поэтому s() = f()+g() (здесь существенно, что суммы конечны: в бесконечные степенные ряды подставлять x =  не всегда возможно !!) и p() = = f()g() . Теорема доказана.

Теорема (Безу). Пусть K – коммутативное кольцо с единицей,   K, f(x)  K[x]. Тогда найдётся единственный многочлен q(x)  K[x] со свойством f(x) = (x–)q(x) + f(). При этом q(x) = 0, если f(x) = const  K , и d(q) = d(f) – 1, если d(f)  1 .

Доказательство. По теореме о делении многочлена на двучлен f(x) = (x–)q(x) + r. Подставляя x = , получим r = f(). Теорема доказана.

Следствие. Пусть K – коммутативное кольцо с единицей,   K, f(x)  K[x]. Тогда  – корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) = (x–)q(x) для некоторого многочлена q(x)  K[x]. При этом q(x) = 0, если f(x) = const  K , и d(q(x)) = d(f(x)) – 1, если d(f(x))  1 .

Доказательство. Если  – корень многочлена f(x), то всё следует из теоремы Безу.

Обратно, если f(x) = (x–)q(x), то f() = (–)q() = 0, т.е.  – корень многочлена f(x), что и требовалось доказать.

Теорема (о выделении линейных множителей). Пусть K – коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля, ₁ , … , _s – попарно различные корни многочлена f(x)  K[x] положительной степени. Тогда f(x) = q(x) для некоторых натуральных чисел k₁ , … , k_s и многочлена q(x)  K[x], для которого q(_i)  0 (1  i  s), а d(q(x)) = d(f(x)) – . Число k_i называется кратностью корня _i (1  i  s).

Доказательство. По следствию из теоремы Безу, f(x) = (x–₁)¹q₁(x). Выберем представление многочлена f(x) в виде f(x) = q₁(x) с наибольшим возможным показателем k₁ . Тогда q₁(₁)  0: если бы q₁(₁) = 0, то q₁(x) = (x–₁)q₁₁(x), а f(x) = = q₁₁(x) – вопреки максимальности показателя k₁ . При этом d(q₁) = d(f)–k₁ .

С другой стороны, 0 = f(_i) = q₁(_i) (2  i  s), и ввиду отсутствия делителей нуля в K, имеем q₁(_i) = 0, т.е. ₂ , … , _s – попарно различные корни многочлена q₁(x)  K[x]. Поэтому те же рассуждения, что и выше, применённые к многочлену q₁(x), позволяют получить разложения q₁(x) = q₂(x) =  q₃(x) = … … = q_s(x), где q_i(_j)  0 при j  i и d(q_i) = d(q₁)– . Полагая q(x) = q_s(x), получим искомое разложение f(x) = q(x). Теорема доказана.

Следствие (о разложении многочлена в произведение линейных). Пусть K – коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля, f(x) = f_nxⁿ + … + f₁x + f₀ – многочлен степени n > 0. Тогда f(x) можно представить в виде f_n , где _i  _j при i  j, тогда и только тогда, когда ₁ , … , _s – его попарно различные корни, кратности k₁ , … , k_s которых удовлетворяют соотношению = n .

Доказательство. Если f(x) = f_n , то, подставляя x = _i , получим f(_i) = f_n = 0, т.е. ₁ , … , _s – попарно различные корни многочлена f(x), причём n = d(f) = d( f_n) = + +d(f_n) = .

Обратно, если ₁ , … , _s – различные корни многочлена f(x), кратности k₁ , … , k_s которых удовлетворяют соотношению = n, то теорема о выделении линейных множителей даёт разложение f(x) = q(x), где d(q) = d(f)– = 0, т.е. q(x) = = q  K. Сравнивая коэффициенты при xⁿ в обеих частях этого равенства, окончательно получим f_n = q. Следствие доказано.

Теорема (о количестве корней многочлена). Пусть K – коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Тогда многочлен положительной степени n над K имеет не более n корней (с учётом их кратностей).

Непосредственно следует из теоремы о выделении линейных множителей.

Теорема (о равенстве многочленов). Пусть K – бесконечное коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Тогда два многочлена степени n над K равны тогда и только тогда, когда они в n+1 различных точках принимают равные значения.

Доказательство. Ясно, что равные многочлены принимают одинаковые значения в любых точках.

Обратно, если многочлены f(x), g(x)  K[x] принимают равные значения в n+1 попарно различных точках ₁ , … , _n+1  K, то эти точки являются корнями многочлена f(x)–g(x), степень которого не превосходит n. По теореме о количестве корней многочлена это возможно только в случае f(x) = g(x). Теорема доказана.

Следствие (теорема о равенстве многочленов как функций). Пусть K – бесконечное коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Тогда два многочлена над K равны тогда и только тогда, когда они равны как функции.

Следствие. Два многочлена над любым из колец Z , Q , R , C равны тогда и только тогда, когда они равны как функции.