§ 15. Факториальные кольца

Доказанная в прошлом параграфе теорема допускает обобщение на случай колец довольно общего вида.

Пусть K – коммутативное кольцо без делителей нуля с единицей 1, U(K) – группа его обратимых элементов. Два элемента a, b  K называются ассоциированными (a ~ b), если a = b для некоторого   U(K). Нетрудно проверить, что отношение ассоциированности является отношением эквивалентности: оно рефлексивно (a = 1a), симметрично (если a = b, то b =  ^–1a) и транзитивно (если a = b и b = c, то a = ()c).

Элемент p  K \ U(K) называется простым, если любое его разложение вида p = uv (u, v  K) тривиально, т.е. либо u  U(K), либо v  U(K). Легко понять, что любой ассоциированный с простым элемент, сам будет простым. Действительно, если p – простой и p = q  K \ U(K), где   U(K), то любое нетривиальное разложение q = uv элемента q  K \ U(K) привело бы к нетривиальному разложению p = (u)v элемента p, что невозможно.

Коммутативное кольцо K с единицей 1 называется факториальным, если в нём выполняется следующая

Теорема (об однозначном разложении на множители). Любой ненулевой необратимый элемент кольца K является произведением простых элементов. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности.

Более точно: если p₁…p_k = a = q₁…q_m – два разложения одного элемента a в произведение простых, то k = m и p₁ ~ , … , p_k ~ для некоторой перестановки (i₁ , … , i_k) символов (1, … , k).

Таким образом, определение факториальности кольца полностью повторяет ситуацию кольца многочленов над полем, но в абстрактной ситуации.

Примеры факториальных колец: 1. F[x] – кольцо многочленов над полем F.

2. F – любое поле. Здесь U(F) = F \ {0} и в этом кольце нет простых элементов. Таким образом, теорема об однозначном разложении выполняется тривиально.

3. Z – кольцо целых чисел. Его факториальность, если Вы не знакомы с основной теоремой арифметики из школы, будет доказана в курсе “Теория чисел”.

4. Кольцо Z_n является факториальным только в случае простого числа n (тогда оно будет полем), в противном случае это кольцо содержит делители нуля.

Теорема (о факториальности кольца многочленов). Если K – факториальное кольцо, то кольцо многочленов K[x] тоже факториально.

Доказательство. Нужно доказать, что в кольце K[x] справедлива

Теорема (основная теорема алгебры многочленов). Любой ненулевой необратимый многочлен над полем (т.е. любой многочлен f(x)  K[x] \ (U(K)  {0})) является произведением простых многочленов. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности. Более точно: если p₁(x)…p_k(x) = f(x) = q₁(x)…q_m(x) – два разложения многочлена в произведение простых, то k = m и p₁ ~ , … , p_k ~ для некоторой перестановки (i₁ , … , i_k) символов (1, … , k).

Эскиз доказательства. Существование разложения доказывается аналогично случаю многочленов над полем. Пусть f(x)  K[x] \ (U(K)  {0})). Проведём индукцию по степени d(f). Базу обеспечивает случай d(f) = 0. Тогда f(x) = a  K \ (U(K)  {0}) и всё следует из факториальности кольца K : a = p₁…p_k , где p_i – простые элементы кольца K (1  i  k). Однако эти простые элементы являются простыми и в кольце многочленов, т.к. у них нет нетривиальных разложений: если p_i = u(x)v(x), то из сравнения степеней 0 = d(p_i) = d(u)+d(v) следует, что u(x), v(x)  K и поэтому либо u(x), либо v(x) принадлежат U(K) = U(K[x]), что и требовалось.

Если существование разложения уже доказано для многочленов степеней 0, … , s, то любой ненулевой многочлен степени s+1 либо простой и тогда f(x) = f(x) – его тривиальное разложение в произведение простых, либо обладает нетривиальным разложением f(x) = f₁(x)f₂(x). Если 0 < < d(f), то многочлены f₁(x) и f₂(x) удовлетворяют предположению индукции, а значит, f₁(x) = p₁(x)…p_k(x), f₂(x) = q₁(x)…q_m(x), где p_i(x), q_j(x) – простые (1  i  k, 1  j  m). Тогда f(x) = p₁(x)…p_k(x)q₁(x)…q_m(x) – искомое разложение в произведение простых. Если же, например, f₁(x) = f₁  K \ (U(K)  {0}), то f(x) = f₁f₂(x) и те же рассуждения можно применить к многочлену f₂(x), получая разложение f₂(x) = f₂f₃(x), где f₂  K \ (U(K)  {0}). Значит, f(x) = f₁f₂f₃(x) и можно так же раскладывать многочлен f₃(x). В результате получим бесконечную цепочку равенств:

f(x) = f₁f₂(x) = f₁f₂f₃(x) = … = f₁…f_sf_s+1(x) = …,

где на шаге s выполнено f₁ , … , f_s  K \ (U(K)  {0}), f_s+1(x) – необратимый многочлен степени s+1. На самом деле наличие такой цепочки равенств ведёт к противоречию. Действительно, если f(x) = a_nxⁿ+…+a₁x+a₀ (a_i  K (0  i  n)), то из равенства f(x) = f₁…f_sf_s+1(x) следует, что a_i = f₁…f_sb_i для некоторого b_i  K (0  i  n). Поскольку в разложении каждого элемента f_j (1  j  s) в произведение простых участвует, по крайней мере, один простой множитель, то разложение любого коэффициента a_i (0  i  n) содержит не менее s простых множителей при любом s  N, что невозможно (?!).

Единственность разложения в случае кольца многочленов над полем следовала из основного свойства простых многочленов: если простой многочлен делит произведение многочленов, то он делит один из сомножителей. Оказывается, что этот факт имеет место и для многочленов над любым факториальным кольцом.

Доказательство опирается на следующую лемму Гаусса:

Лемма (Гаусса). Если простой элемент факториального кольца делит произведение двух (или нескольких) многочленов над этим кольцом, то все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей делятся на этот простой элемент (другими словами, простой элемент делит один из сомножителей-многочленов).

Доказательство. Пусть pu(x) = f(x)g(x), где p – простой элемент факториального кольца K, u(x) = , f(x) = , g(x) =  K[x]. Если p не делит ни один из многочленов f(x) и g(x), то можно найти такие коэффициенты f_i и g_j , что p f_i и p g_j . Выбирая номера i и j наименьшими из возможных, можно считать, что f_s = pe_s (s < i) и g_t = ph_t (t < j). При этом случаи i = 0 или j = 0 не исключаются. Без ограничения общности будем считать, что i  j и сравним в исследуемом равенстве многочленов коэффициенты при x^i+j :

pu_i+j = f₀g_i+j + … + f_i–1g_j+1 + f_ig_j + f_i+1g_j–1 + … + f₀g_i+j , т.е.

f_ig_j = pu_i+j – (f₀g_i+j + … + f_i–1g_j+1) – (f_i+1g_j–1 + … + f₀g_i+j) =

= p(u_i+j – (e₀g_i+j + … + e_i–1g_j+1) – (f_i+1h_j–1 + … + f₀h_i+j)).

Таким образом, p | f_ig_j и в факториальном кольце отсюда следует, что p | f_i или p | g_j : если f_i = p₁…p_k , g_j = q₁…q_m – разложения в произведения простых множителей, то f_ig_j = = pr₁…r_l и из однозначности разложения в произведение простых следует, что один из простых множителей p_s или q_t ассоциирован с p, т.е. p_s = p или q_t = p для   U(K), и значит, f_i = p(p₁…p_s–1p_s+1…p_k) или g_j = p(q₁…q_t–1q_t+1…q_m). Получено противоречие с выбором номеров i и j.

Лемма Гаусса доказана.

Лемма Гаусса представляет собой частный случай доказываемого основного свойства простых элементов кольца K[x] над факториальным кольцом K в случае, когда простой делитель произведения является простым элементом кольца K. В общем случае привлечём ещё одну нетривиальную идею. Пусть p(x)u(x) = f(x)g(x), где p(x) – простой многочлен над факториальным кольцом K. Тогда это же равенство остаётся верным и при переходе от кольца K к его полю частных F = KK ^–1 (см. главу “Азы теории колец”).

При этом простой многочлен p(x) останется простым и над кольцом F[x]. Действительно, если p(x) = U(x)V(x) – нетривиальное разложение в кольце F[x], и коэффициенты многочленов U(x) и V(x) являются дробями над K. Приводя все эти дроби к общему знаменателю d, получим U(x) = d ^–1u(x), V(x) = d ^–1v(x), где u(x), v(x)  K[x]. Значит, p(x) = = U(x)V(x) = d ^–2u(x)v(x) или d ²p(x) = u(x)v(x). Если d  U(K), то можно рассмотреть его разложение d = p₁…p_k в произведение простых в кольце K. Тогда из равенства p₁²…p_k²p(x) = u(x)v(x) по лемме Гаусса заключаем, что p₁ | u(x) или p₁ | v(x), т.е. u(x) = p₁u₁(x) или v(x) = p₁v₁(x), и обе части исследуемого равенства можно сократить на p₁ , получая аналогичное равенство p₁ p₂²…p_k²p(x) = u₁(x)v₁(x). Проводя те же рассуждения, сократим это равенство на p₁ , p₂², … , p_k², пока не получим нетривиальное разложение многочлена p(x) в кольце K[x], что невозможно.

Итак, в кольце F[x] имеем равенство p(x)u(x) = f(x)g(x), где p(x) – простой многочлен в F[x]. По основной теореме алгебры многочленов над полем можно считать, что f(x) = p(x)U(x) для некоторого U(x)  F[x], причём, U(x) = d ^–1u(x) для u(x)  K[x] и общего знаменателя d коэффициентов многочлена U(x). Значит, df(x) = p(x)u(x) – равенство многочленов в кольце K[x]. Любой простой множитель p элемента d делит произведение p(x)u(x) и по лемме Гаусса делит либо p(x), либо u(x). Но делить p(x) он не может ввиду простоты многочлена p(x), так что p | u(x) и равенство можно сократить на p. Таким образом, сокращая последовательно на все простые множители элемента d, придём к равенству f(x) = p(x)v(x) для некоторого многочлена v(x)  K[x], что и требовалось.

Теорема о факториальности кольца многочленов доказана.

2