§ 14. Основная теорема алгебры многочленов над полем

Многочлен p(x)  F[x] \ F^ называется простым (или неприводимым или неразложимым), если любое его разложение p(x) = u(x)v(x) в произведение двух многочленов u(x), v(x)  F[x] тривиально, т.е. обязательно либо u(x)  F^, либо v(x)  F^. Ясно, что простой многочлен не может быть нулевым, т.к. 0 = 00 – недопустимое разложение для простого многочлена.

Примеры: 1. Ненулевые многочлены степеней 0 и 1, очевидно, простые.

2. Многочлен степени 2 или 3 над полем прост тогда и только тогда, когда у него нет корней в этом поле. Это же верно и для многочленов степеней 0 и 1.

Действительно, существование нетривиального разложения f(x) = u(x)v(x) многочлена степени 2 или 3 означает наличие среди указанных множителей u(x), v(x) многочлена первой степени. Это равносильно (по теореме Безу) наличию в основном поле корня многочлена.

3. Квадратный трёхчлен является простым в R[x] тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен.

4. В С[x] нет простых квадратных трёхчленов. Это показывает, что простой многочлен p(x)  F[x] может не являться простым, если его рассматривать как многочлен над объемлющим полем: x²+1  R[x] прост, но x²+1  С[x] не прост, т.к. x² + 1 = (x–i)(x+i) – нетривиальное разложение над полем С.

5. Многочлен x⁴ + 4  R[x] не имеет действительных корней, но не прост:

x⁴+4 = (x²+2)² – (2x)² = (x² + x + 2)(x² – x + 2).

Изучение простых многочленов важно не только с теоретической точки зрения, но и для практики: например простые многочлены над полем Z₂ и другими конечными полями используются в теории кодирования как инструмент создания высокопродуктивных алгоритмов шифрования, используемых не только в шпионской деятельности, но и в быту, например в японских звукоснимателях. Простые многочлены над полями Q , R и C частично будут изучены в следующей главе. Пока же ограничимся рассмотрением некоторых общих свойств простых многочленов.

Некоторые свойства простых многочленов

Два многочлена f(x), g(x)  F[x] называются ассоциированными (f(x) ~ g(x)), если f(x) = g(x) для некоторого   F^. Легко понять, что отношение ассоциированности является отношением эквивалентности: оно рефлексивно (f(x) = 1f(x)), симметрично (если f(x) = g(x), то g(x) =  ^–1f(x)) и транзитивно (если f(x) = g(x) и g(x) = h(x), то f(x) = ()h(x)).

1⁰. Если многочлен ассоциирован с простым, то он тоже прост.

В самом деле, если f(x) = p(x) (  F^ ) и f(x) = u(x)v(x) – его разложение, то p(x) = = ( ^–1u(x))v(x) – тривиальное разложение. Поэтому либо  ^–1u(x)  F^, и значит u(x)  F^, либо v(x)  F^, т.е. исходное разложение многочлена f(x) тривиально.

2⁰. Для любого многочлена f(x)  F[x] и простого многочлена p(x)  F[x]

НОД(f, p) =

Действительно, в случае p(x) | f(x) всё следует из свойств наибольшего общего делителя. Если же p(x) f(x), то НОД(f, p) является делителем простого многочлена p(x), а потому должен быть тривиальным, т.е. НОД(f, p) = 1.

3⁰. Для простых многочленов p(x), q(x)  F[x] верно

(НОД(p, q) = 1)  (p q), (НОД(p, q)  1)  (p ~ q).

Это следует из 1⁰ : (НОД(p, q)  1)  (p(x) | q(x)) (q(x) = p(x),   F^).

4⁰. Если простой многочлен делит произведение двух многочленов, то он делит один из этих многочленов.

В самом деле, если p(x) | f(x)g(x) и p(x) f(x), то НОД(p, f) = 1, и p(x) | g(x) по основному свойству взаимно простых многочленов.

5⁰. Если простой многочлен делит произведение нескольких простых многочленов, то он ассоциирован с одним из них.

Если p(x) | q₁(x)…q_n(x), то (по 4⁰) (p ~ q₁ )  …  (p ~ q_n ), что равносильно делимости одного из простых многочленов q_i(x) на p(x).

Докажем теперь теорему, проясняющую значение простых многочленов – они являются кирпичиками, из которых с помощью умножения получаются остальные ненулевые многочлены.

Теорема (основная теорема алгебры многочленов). Любой ненулевой необратимый многочлен над полем (т.е. любой многочлен f(x)  F[x] \ F) является произведением простых многочленов. Такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности. Более точно: если p₁(x)…p_k(x) = f(x) = q₁(x)…q_m(x) – два разложения одного многочлена в произведение простых, то k = m и p₁ ~ , … , p_k ~ для некоторой перестановки (i₁ , … , i_k) символов (1, … , k).

Доказательство. Существование разложения: Пусть f(x)  F[x] \ F. Проведём индукцию по степени d(f). Базу обеспечивает случай d(f) = 1, когда f(x) простой и поэтому обладает тривиальным разложением в произведение простых f(x) = f(x) с числом сомножителей k = 1.

Если существование разложения доказано для многочленов степеней 0, 1, … , s, то любой ненулевой многочлен степени s+1 либо простой и тогда f(x) = f(x) – его тривиальное разложение в произведение простых, либо обладает нетривиальным разложением f(x) = u(x)v(x). В последнем случае 0 < < d(f), т.е. многочлены u(x) и v(x) удовлетворяют предположению индукции, а значит, u(x) = p₁(x)…p_k(x), v(x) = q₁(x)…q_m(x), где p_i(x), q_j(x) – простые (1  i  k, 1  j  m). Тогда f(x) = p₁(x)…p_k(x)q₁(x)…q_m(x) – искомое разложение в произведение простых.

Единственность разложения: Если p₁(x)…p_k(x) = f(x) = q₁(x)…q_m(x) – два разложения одного многочлена в произведение простых, то p₁(x) | q₁(x)…q_m(x), и как следует из свойства 5⁰ простых многочленов p₁ ~ , т.е. = ₁p. Переставляя многочлен (x) на первое место и сокращая обе части на p₁ , получим новое разложение p₂…p_k = (₁q₂)…q_m того же вида, что и ранее. К нему можно применить аналогичные рассуждения, за исключением случаев, когда в одной из частей отсутствуют сомножители, т.е. либо 1 = (₁q₂)…q_m , либо p₂…p_k =  . В обоих случаях сравнение степеней показывает, что простых сомножителей нет и в другой части: например, в первом случае из 0 = d(1) = d(₁q₂)+…+d(q_m) следует, что q₂ , … , q_m отсутствуют, и ₁ = 1.

Таким образом, последовательно повторяя процесс сокращения обеих частей на ассоциированные простые множители, получим k = m и p₁ ~ , … , p_k ~ для некоторой перестановки (i₁ , … , i_k) символов (1, … , k).

Теорема доказана.