Простейшие свойства наибольшего общего делителя
10. Наименьшее общее кратное многочленов не зависит от порядка этих многочленов: НОК[f1 , … , fn ] = НОК[ , … , ] для любой перестановки (i1, … , in) символов 1, … , n.
Это свойство непосредственно следует из определения, которое от порядка рассмотрения многочленов не зависит.
20. Если K(x) НОК[f1 , … , fn ], то F K(x) НОК[f1 , … , fn ].
Очевидно, т.к. K(x) – общее кратное для f1(x), … , fn(x) той же степени, что и K(x).
30. Если f1(x) – общее кратное многочленов f2(x), … , fn(x), то
НОК[f1 , f2 , … , fn ] = Ff1(x) = {f1(x) F[x] | F }.
В самом деле, ввиду 20 достаточно показать, что f1(x) НОК[f1 , f2 , … , fn ]. По условию f1(x) – общее кратное всех многочленов f1(x), f2(x), … , fn(x). С другой стороны, если K(x) НОК[f1 , f2 , … , fn ], то K(x) f1(x) и d(K) d(f1). Значит, f1(x) – общее кратное минимальной степени, т.е. f1(x) НОК[f1 , f2 , … , fn ], что и требовалось доказать.
40.
НОК[f,
g]
= F
.
Прежде всего,
F[x]
: если D(x)
НОД(f,
g)
и f(x)
= D(x)f1(x),
g(x)
= D(x)g1(x),
то
= D(x)f1(x)g1(x)
F[x].
Далее, D(x)f1(x)g1(x) – общее кратное многочленов f(x) и g(x). Действительно,
f(x)g1(x) = D(x)f1(x)g1(x) = f1(x)g(x).
Наконец, любое общее кратное K(x) многочленов f(x) и g(x) кратно многочлену D(x)f1(x)g1(x). В самом деле, из K(x) = f(x)p(x) = D(x)f1(x)p(x) и K(x) = g(x)q(x) = = D(x)g1(x)q(x) получаем f1(x)p(x) = g1(x)q(x), причём по свойству 40 наибольшего общего делителя многочлены f1(x) и g1(x) взаимно просты (т.е. НОД(f1 , g1) = 1). Таким образом, f1(x) | g1(x)q(x) и НОД(f1 , g1) = 1. По основному свойству взаимно простых многочленов заключаем, что f1(x) | q(x), т.е. q(x) = f1(x)u(x) для некоторого многочлена u(x). Тогда K(x) = g(x)q(x) = D(x)g1(x)f1(x)u(x) D(x)g1(x)f1(x), что и требовалось.
Итак, любое наименьшее общее кратное многочленов f(x) и g(x) пропорционально многочлену D(x)f1(x)g1(x).
50. Любое общее кратное двух многочленов кратно их наименьшему общему кратному.
Это доказано при доказательстве 40.
60. (1) НОК[f1 , … , fn ] = НОК[kn–1 , fn ] для любого многочлена kn–1(x) [f1 , … , fn–1 ].
(2) Любое общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x) кратно любому их наименьшему общему кратному.
Оба утверждения докажем одновременно индукцией по n N. Базу индукции обеспечивает рассмотренный ранее случай n = 2. Предположим, что оба утверждения доказаны для n = 2, … , m и докажем их для n = m+1.
Если kn(x) НОК[f1 , … , fn ], то многочлен k(x) НОК[kn–1 , fn ] кратен kn–1(x) и fn(x). В свою очередь, kn–1(x) кратно f1(x), … , fn–1(x) , а значит, им кратно и k(x). Таким образом, k(x) – общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x), и d(k) d(kn).
С другой стороны, kn(x) – общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x), в частности, и общее кратное многочленов f1(x), … , fn–1(x), и (по предположению для утверждения (2)) kn(x) kn–1(x). Кроме того, kn(x) fn(x), так что kn(x) k(x) НОК[kn–1 , fn ]. Поэтому d(kn) d(k), а с учётом предыдущего, d(kn) = d(k). В этом случае из kn(x) k(x) следует пропорциональность многочленов kn(x) и k(x), что и доказывает (1).
Если теперь K(x) – общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x), то оно является общим кратным и многочленов f1(x), … , fn–1(x), и по предположению индукции K(x) kn–1(x). Кроме того, K(x) fn(x), так что K(x) k(x) НОК[kn–1 , fn ]. Учитывая, что kn(x) пропорционален k(x), получаем K(x) kn(x) НОК[f1 , … , fn ], что и доказывает (2).
70. НОК[f1 , … , fn ] определено не однозначно, но с точностью до ненулевого множителя из поля F: если k1(x) и k2(x) – наименьшие общие кратные многочленов f1(x), … … , fn(x), то k1(x) = k2(x) при некотором F.
Действительно, k1(x) и k2(x), будучи общими кратными многочленов f1(x), … , fn(x), делят друг друга по свойству 60. Отсюда и следует их пропорциональность.
Таким образом, НОК[f1 , … , fn ] = Fk(x), где k(x) – любое наименьшее общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x). Поэтому в дальнейшем, говоря о НОК[f1 , … , fn ] будем вместо множества мыслить одно из наименьших общих кратных многочленов, молчаливо подразумевая, что остальные наименьшие общие кратные ему пропорциональны.
80. НОК[f1 , … , fn ] = [[[…[[f1 , f2 ], f3 ], … ], fn–1 ], fn ].
Это другая, более развёрнутая, запись свойства 60 (1).
Примеры: 1. Вычислить НОК[x3 – 1, x2 – 1].
НОК[x3
– 1, x2
– 1] =
= (x2+x+1)(x2–1)
=
= x4 +x3 – x – 1.
2. Найти НОК[xn – 1, x2 – 1].
Если n = 2k чётно, то xn – 1 = x2k–1 = (x2–1)(x2(k–1)+…+x2+1) (x2 – 1) и по свойству 30 получаем НОК[xn – 1, x2 – 1] = xn – 1.
Если же n = 2k+1 – нечётно, то оба многочлена xn – 1 и x2 – 1 делятся нацело на x–1:
xn – 1 = (x–1)(xn–1+xn–2+…+x2+x+1), x2 – 1 = (x–1)(x+1).
При этом многочлены xn–1+xn–2+…+x2+x+1 и x+1 взаимно просты, т.к. в противном случае (x+1) | (xn–1+xn–2+…+x2+x+1), что неверно, т.к. –1 не является корнем многочлена xn–1+xn–2+…+x2+x+1 при нечётном n. Таким образом, в рассматриваемом случае
НОД(xn
– 1, x2
– 1) =
= (xn–1+xn–2+…+x2+x+1)(x2–1).
3.
Упражнения: 1. Найдите НОК[x3 + 1, x2 – 1], НОК[x4 + 1, x2], НОК[x4 + 1, x3 – 1].
2. Докажите, что НОК[fh, gh] = НОК[f, g]h.
3. Верно ли, что НОК[f 2, g 2] = НОК[f, g]2 ?
4.
Докажите,
что формула НОК[f,
g
, h
]
=
не
верна !! Как
подправить её ?
5. Между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным есть явно выраженная двойственность, хорошо заметная при доказательстве их свойств. Найдите ещё несколько двойственных свойств. Как звучит аналог линейного разложения для наименьшего общего кратного ?