§ 12. Линейное разложение наибольшего общего делителя
Запись вида НОД(f1(x), … , fn(x)) = f1(x)u1(x) + … + fn(x)un(x), где u1(x), … , un(x) – некоторые многочлены, называется линейным разложением НОД(f1 , … , fn ). В частности, при n = 2 линейное разложение НОД(f, g) приобретает вид НОД(f, g) = f(x)u(x) + g(x)v(x), где u(x) и v(x) – некоторые многочлены.
Теорема (о линейном разложении НОД). Линейное разложение НОД(f1 , … , fn ) существует для любых многочленов f1(x), … , fn(x) F[x], не равных одновременно нулю.
Доказательство. Вначале докажем теорему для случая двух многочленов, а затем проведём общие рассуждения.
Пусть f(x), g(x) F[x], g(x) 0. Если g(x) | f(x), то НОД(f, g) = g(x) = f(x)0+g(x)1 – линейное разложение НОД(f, g).
Если же g(x) f(x), то (по теореме Евклида) НОД(f, g) = rs(x) – последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида. Из равенств алгоритма Евклида, последовательно двигаясь сверху вниз, найдём представления ri(x) = f(x)ui(x) + g(x)vi(x) (0 i s). Найденное представление такого вида для rs(x) и будет линейным разложением НОД(f, g). Имеем:
r0(x)
= f(x)1
+ g(x)(–q0(x)),
т.е.
,
r1(x) = g(x)1 + r0(x)(–q1(x)) = g(x)1 + (f(x)u0(x)+g(x)v0(x))(–q1(x)) =
=
f(x)(–u0(x)q1(x))+g(x)(1–v0(x)q1(x)),
т.е.
r2(x) = r0(x)1 + r1(x)(–q2(x)) = (f(x)u0(x)+g(x)v0(x))1+(f(x)u1(x)+g(x)v1(x))(–q2(x)) =
=
f(x)(u0(x)–u1(x)q2(x))+g(x)(v0(x)–v1(x)q2(x)),
т.е.
Если уже найдены
формулы
(1
i
k
<
s–1),
то формулы при i
= k+1
получаются
аналогично предыдущему:
rk+2(x) = rk(x)1+rk+1(x)(–qk+2(x)) = (f(x)uk(x)+g(x)vk(x))1+(f(x)uk+1(x)+g(x)vk+1(x))(–qk+2(x)) =
=
f(x)(uk(x)–uk+1(x)qk+2(x))+g(x)(vk(x)–vk+1(x)qk+2(x)),
т.е.
,
что и требовалось.
В общем случае n 2 проведём индукцию по n с базой n = 2. Запишем линейные разложения для Dn–1(x) = НОД(f1 ,…, fn–1 ) и Dn(x) = НОД(Dn–1 , fn ), которые существуют по предположению индукции и рассмотренному случаю n = 2:
Dn–1(x) = f1(x)u1(x)+…+fn–1(x)un–1(x), Dn = Dn–1(x)a(x)+fn(x)b(x).
Остаётся заметить, что Dn(x) = НОД(f1 ,…, fn ) и получить его линейноле разложение:
Dn = Dn–1(x)a(x)+fn(x)b(x) = (f1(x)u1(x)+…+fn–1(x)un–1(x))a(x)+ fn(x)b(x) =
= f1(x)(u1(x)a(x))+…+fn–1(x)(un–1(x)a(x))+fn(x)b(x).
Теорема доказана.
Следствие (основное свойство взаимно простых многочленов). Если f(x) | g(x)h(x) и многочлены f(x) и g(x) взаимно просты, т.е. НОД(f, g) = 1, то f(x) | h(x).
Доказательство. Если f(x)p(x) = g(x)h(x), то из линейного разложения (f, g) = 1 = = f(x)u(x)+g(x)v(x) после умножения на h(x), получим h(x) = f(x)u(x)h(x)+g(x)h(x)v(x). Оба слагаемых в правой части делятся нацело на f(x), а значит, на f(x) делится и левая часть h(x). Следствие доказано.
Примеры: 1. Найти линейное разложение НОД(f, g), где f(x) = x4+3x3+3x2+2x–1, g(x) = x3 + 3x2 + 2x.
А
_
x4+3x3+3x2+2x–1
|
x3
+ 3x2
+ 2x
x4+3x3+2x2
x
_ x3+3x2+2x
|x2+2x–1
x3+2x2–x
x+1
_ x2+3x
x2+2x–1
_ x2+2x–1
| x+1
x2
+ x x+1
_ x–1
x+1
–2 – НОД
лгоритм Евклида:
f(x) = g(x)x + (x2 + 2x – 1)
g(x) = (x2 + 2x – 1)(x+1)+(x+1)
(x2 + 2x – 1) = (x+1)(x+1) – 2
Последний шаг алгоритма Евклида приводить нет нужды, т.к. в нём произойдёт деление нацело. Ясно, что НОД(f, g) = –2, и действуя, как при доказательстве теоремы, получаем последовательно:
x2 + 2x – 1 = f(x)1+g(x)(–x),
x+1 = g(x)1+(x2+2x–1)(–x–1) =
= g(x)1+(f(x)1+g(x)(–x))(–x–1) = f(x)(–x–1)+g(x)(x2+x+1),
–2 = (x2+2x–1)1+(x+1)(–x–1) = (f(x)1+g(x)(–x))1+(f(x)(–x–1)+g(x)(x2+x+1))(–x–1) =
= f(x)(x2+2x+2)+g(x)(–x3–2x2–3x–1).
Итак, НОД(f, g) = –2 = f(x)(x2+2x+2)+g(x)(–x3–2x2–3x–1) – искомое линейное разложение.
2. Найти линейное разложение НОД(f, g), где f(x) = x4–9x3+17x2+11x+20, g(x) = x3–10x2+26x–5.
А
_
x4
– 9x3
+ 17x2+
11x
+ 20 |
x3
– 10x2
+ 26x
– 5
x4
– 10x3
+ 26x2
– 5x
x
+ 1
_
_ x3
– 9x2
+ 16x
+ 20
x3
– 10x2
+ 26x
– 5
_ x3
– 10x2
+ 26x
– 5| x2
– 10x
+ 25
x3
– 10x2
+ 25x
x
_ x2
– 10x
+ 25 | x–5
– НОД
x2
– 5x
x
– 5
_ –5x
+ 25
–5x
+ 25
0
f(x) = g(x)(x+1) + (x2–10x + 25)
g(x) = (x2–10x +25)x+(x–5)
(x2–10x + 25) = (x–5)(x–5) + 0
показывает, что НОД(f, g) = x–5. Для получения линейного разложения можно двигаться по алгоритму Евклида и “снизу вверх”:
x–5 = g(x)1+(x2–10x +25)(–x) =
= g(x)1+(f(x)+g(x)(–x–1))(–x) =
= f(x)(–x)+g(x)( x2+x+1).
Итак, НОД(f, g) = x–5 = f(x)(–x)+g(x)(x2+x+1) – искомое линейное разложение.
3
_
x4
– x
– 1 |
x2
– 2
x4
– 2x2
x2
+ 2
_
_ 2x2
–x
– 1
2x2
– 4
_ x2
– 2 |
–x
+ 3
x2
–3x
–x–3
_ 3x
– 2
3x
– 9
7 – НОД
Аналогично предыдущему:
f(x) = g(x)(x2+2)+(–x+3),
g(x) = (–x+3)(–x–3)+7
Последний шаг алгоритма Евклида приводить нет нужды, т.к. в нём произойдёт деление нацело. Поэтому
НОД(f, g) = 7 = g(x)1+(–x+3)(x+3) =
= g(x)1+(f(x)1+g(x)(–x2–2))(x+3) =
= f(x)(x+3)+g(x)(–x3–3x2–2x–5).
Итак, НОД(f, g) = 7 = f(x)(x+3)+g(x)(–x3–3x2–2x–5) – искомое линейное разложение.
Упражнения: 1. Вычислить линейное разложение НОД(f, g) для следующих многочленов:
а) f(x) = x4 + 1, g(x) = x2 – 1, б) f(x) = x2 – 3x +2, g(x) = x4 +x3 – 3x + 1,
в) f(x) = x6 – x2, g(x) = x3 – x, г) f(x) = x2 + 1, g(x) = x3 + x2 + 1.
2. Вычислить линейное разложение НОД(f, g) для следующих многочленов:
а)
f(x)
= x8
– 1, g(x)
= x5
– x4
+ x
– 1,
б)
f(x)
= x2
–
x
–
2,
g(x)
= x4
+
4.
3. Вычислить линейное разложение НОД(f, g) для f(x) = x2008 – 1, g(x) = x2007 – 1. А для f(x) = xn – 1, g(x) = xn–1 – 1 ?