Простейшие свойства наибольшего общего делителя

1⁰. Наибольший общий делитель многочленов не зависит от порядка рассмотрения этих многочленов: НОД(f₁ , … , f_n ) = НОД( , … , ) для любой перестановки (i₁, … , i_n) символов 1, … , n.

Это свойство непосредственно следует из определения, которое от порядка рассмотрения многочленов не зависит.

2⁰. Если D(x)  НОД(f₁ , … , f_n ), то    F^ D(x)  НОД(f₁ , … , f_n ).

Очевидно, т.к. D(x) – общий делитель для f₁(x), … , f_n(x) той же степени, что и D(x).

3⁰. Если f₁(x) – общий делитель многочленов f₂(x), … , f_n(x), то

НОД(f₁ , f₂ , … , f_n ) = F^f₁(x) = {f₁(x)  F[x] |   F^ }.

В самом деле, ввиду 2⁰ достаточно показать, что f₁(x)  НОД(f₁ , f₂ , … , f_n ). По условию f₁(x) – общий делитель всех многочленов f₁(x), f₂(x), … , f_n(x). С другой стороны, если D(x) НОД(f₁ , f₂ , … , f_n ), то D(x) | f₁(x) и d(D)  d(f₁). Значит, f₁(x) – общий делитель максимальной степени, т.е. f₁(x)  НОД(f₁ , f₂ , … , f_n ), что и требовалось доказать.

4⁰. Если D(x)  НОД(f₁ , f₂ , … , f_n ), то НОД( ) = F^.

Пусть f_i(x) = D(x)f_i(x) (1  i  n). Ясно, что = f_i и F^  НОД (f₁ , f₂ , … , f_n ). Если m(x) НОД (f₁, f₂, … , f_n ), то m(x) | f_i(x) и значит D(x)m(x) | f_i(x). Поэтому d(Dm)  d(D), т.е. d(m)  0 и m(x)  F^, что и требовалось доказать.

5⁰. Наибольший общий делитель двух многочленов не меняется от добавления к одному из них любого кратного другого многочлена:  t(x) F[x] НОД(f(x)+g(x)t(x), g(x)) = = НОД(f, g) = НОД(f(x), g(x)+f(x)t(x)).

Действительно, если D(x)  НОД(f, g), D₁(x)  НОД(f(x)+g(x)t(x), g(x)), то D(x) | f(x) и D(x) | g(x), а значит (по свойствам делимости нацело), D(x) | (f(x)+g(x)t(x)). Таким образом, D(x) – общий делитель для f(x)+g(x)t(x) и g(x), так что d(D)  d(D₁).

Аналогично предыдущему имеем D₁(x) | (f(x)+g(x)t(x)), D₁(x) | g(x), а значит, D₁(x) | ((f(x)+g(x)t(x))+g(x)(–t(x))), т.е. D₁(x) | f(x). Таким образом, D₁(x) – общий делитель для f(x) и g(x), так что d(D₁)  d(D).

Итак, d(D₁) = d(D), и поэтому D₁(x) НОД(f, g), а D(x) НОД(f(x)+g(x)t(x), g(x)). Ввиду произвольности выбора многочленов D(x) и D₁(x) первое из двух равенств множеств доказано. Второе равенство доказывается аналогично, или же может быть выведено из уже доказанного равенства с помощью свойства 1⁰.

6⁰. Любой общий делитель двух многочленов делит любой их наибольший общий делитель:  m(x)  F[x], D(x)  НОД(f, g) m(x) | f(x)  m(x) | g(x)  m(x) | D(x).

Индукция по максимальному значению k степеней d(f), d(g). База: если k = –∞, то f(x) = 0 = g(x), что невозможно по определению НОД(f, g); если k = 0, то всё следует из рассуждений примера 1; если k = 1, то всё следует из рассуждений примера 2. Предположим, что утверждение уже доказано для k = max{d(f), d(g)} = 0, 1, … , s  N и докажем свойство 6⁰ для многочленов со свойством k = max{d(f), d(g)} = s+1. Переставляя по свойству 1⁰ многочлены f(x) и g(x), можно считать, что d(f)  d(g) и выполнить деление с остатком: f(x) = g(x)q(x)+r(x), где d(r) < d(g). Тогда, во-первых, любой общий делитель m(x) многочленов f(x) и g(x) будет общим делителем и многочленов g(x) и r(x) (почему ?!), а во-вторых, по 5⁰, НОД(f, g) = НОД(f(x)–g(x)q(x), g(x)) = НОД(g , r). Если d(g) < d(f), то max{d(g), d(r)} = d(g)  s и можно применить предположение индукции для доказательства свойства m(x) | D(x)  НОД(g , r) = НОД(f, g).

Если же d(g) = d(f), то для применения предположения индукции нужно ещё раз применить использованный приём деления: если g(x) = r(x)q(x)+p(x), где d(p) < d(r), то общие делители многочленов f(x) и g(x) совпадают с общими делителями многочленов r(x) и p(x), а НОД(f, g) = НОД(g , r) = НОД(g(x)–r(x)q(x), r(x)) = НОД(r, p). По предположению индукции m(x) | D(x)  НОД(r, p) = НОД(f, g), что и требовалось доказать.

Таким образом, НОД(f, g) = {D(x)  F[x] |   F^ }, где D(x) – любой наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x). Поэтому в дальнейшем, говоря о НОД(f, g) будем вместо множества мыслить один из наибольших общих делителей многочленов, молчаливо подразумевая, что остальные наибольшие общие делители ему пропорциональны.

Пример. Вместо записи НОД(x³ – 1, x² – 1) = {(x–1)  F[x] |   F^ } будем просто писать НОД(x³ – 1, x² – 1) = x – 1, а вместо НОД(x – 1, x – 2) = запишем более естественно НОД(x – 1, x – 2) = 1.

7⁰. (1) НОД(f₁ , … , f_n ) = НОД( D_n–1 , f_n ) для любого многочлена D_n–1(x)  (f₁ , … , f_n–1 ).

(2) Любой общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n(x) делит любой их наибольший общий делитель.

Оба утверждения докажем одновременно индукцией по n  N. Базу индукции обеспечивает рассмотренный ранее случай n = 2. Предположим, что оба утверждения доказаны для n = 2, … , m и докажем их для n = m+1.

Если D_n(x)  НОД(f₁ , … , f_n ), то многочлен D(x)  НОД(D_n–1 , f_n ) делит D_n–1(x) и f_n(x). В свою очередь, D_n–1(x) делит f₁(x), … , f_n–1(x) , а значит, их делит и D(x). Таким образом, D(x) – общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n(x), и d(D)  d(D_n).

С другой стороны, D_n(x) – общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n(x), в частности, и общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n–1(x), и (по предположению для утверждения (2)) D_n(x) | D_n–1(x). Кроме того, D_n(x) | f_n(x), так что D_n(x) | D(x)  НОД(D_n–1 , f_n ). Поэтому d(D_n)  d(D), а с учётом предыдущего, d(D_n) = d(D). В этом случае из D_n(x) | D(x) следует пропорциональность многочленов D_n(x) и D(x), что и доказывает (1).

Если теперь m(x) – общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n(x), то он является общим делителем и многочленов f₁(x), … , f_n–1(x), и по предположению индукции m(x) | D_n–1(x). Кроме того, m(x) | f_n(x), так что m(x) | D(x)  НОД(D_n–1 , f_n ). Учитывая, что D_n(x) пропорционален D(x), получаем m(x) | D_n(x)  НОД(f₁ , … , f_n ), что и доказывает (2).

8⁰. НОД(f₁ , … , f_n ) определён не однозначно, но с точностью до ненулевого множителя из поля F: если D₁(x) и D₂(x) – наибольшие общие делители многочленов f₁(x), … … , f_n(x), то D₁(x) = D₂(x) при некотором   F^.

Действительно, D₁(x) и D₂(x), будучи общими делителями многочленов f₁(x), … , f_n(x), делят друг друга по свойству 7⁰. Отсюда и следует их пропорциональность.

Таким образом, НОД(f₁ , … , f_n ) = {D(x)  F[x] |   F^ }, где D(x) – любой наибольший общий делитель многочленов f₁(x), … , f_n(x). Поэтому в дальнейшем, говоря о НОД(f₁ , … , f_n ) будем вместо множества мыслить один из наибольших общих делителей многочленов, молчаливо подразумевая, что остальные наибольшие общие делители ему пропорциональны.

9⁰. НОД(f₁ , … , f_n) = (((…((f₁ , f₂ ), f₃ ), … ), f_n–1 ), f_n ).

Это другая, более развёрнутая, запись свойства 7⁰ (1).