§ 10. Наибольший общий делитель многочленов над полем
Пусть даны многочлены f1(x), … , fn(x) F[x], не все равные нулю. Многочлен m(x) F[x] \ {0} называется их общим делителем, если m(x) | f1(x), … , m(x) | fn(x), т.е. существуют такие многочлены q1(x), … , qn(x), что f1(x) = m(x)q1(x), … , fn(x) = m(x)qn(x).
Ясно, что общие делители существуют у любых многочленов, например, m(x) = 1. Далее, если m(x) – общий делитель многочленов f1(x), … , fn(x), то fi(x) = m(x)qix), и d(fi) = = d(m)+d(qi), так что 0 d(m) d(fi) (1 i n). Поэтому 0 d(m) min{d(fi) | 1 i n} и, значит, среди общих делителей всегда существуют общие делители наибольшей возможной степени. Все эти общие делители наибольшей возможной степени называются наибольшими общими делителями многочленов f1(x), … , fn(x). Более формально, многочлен D(x) является наибольшим общим делителем многочленов f1(x), … , fn(x) тогда и только тогда, когда он одновременно удовлетворяет двум условиям:
(D1): D(x) – общий делитель многочленов f1(x), … , fn(x), т.е. существуют такие многочлены q1(x), … , qn(x) F[x], что f1(x) = D(x)q1(x), … , fn(x) = D(x)qn(x).
(D2): D(x) имеет наибольшую степень среди всех общих делителей многочленов f1(x), … … , fn(x), т.е. m(x) F[x] \ {0} m(x) | f1(x), … , m(x) | fn(x) d(m) d(D).
Множество всех наибольших общих делителей многочленов f1(x), … , fn(x) обозначим через НОД(f1(x), … , fn(x)) или НОД(f1 , … , fn) или совсем кратко (f1 , … , fn ). Кроме того, напомним, что F обозначает множество F \ {0}.
Примеры: 1. Если , а, b F, то НОД(, ax+b) = F.
В самом деле, все общие делители рассматриваемых многочленов, будучи делителями скаляра , лежат в F. Очевидно и обратное: если F, то | | (ax+b).
2. НОД(ax+b,
cx+d)
=
Действительно,
степень любого общего делителя
рассматриваемых многочленов не
превосходит
1. Если
ux+v
НОД(ax+b,
cx+d)
и u
0, то линейные
двучлены
ax+b
и cx+d
имеют общий
корень –
и поэтому
пропорциональны, как между собой, так
и с
ux+v
(почему
?!).
Следовательно, во-первых,
ac
0, во-вторых,
(ax+b)
| (cx+d),
а в-третьих, любой их наибольший общий
делитель пропорционален ax+b,
что и утверждалось. Если же НОД.(ax+b,
cx+d)
содержит
только скаляры
F,
то либо ac
= 0 и тогда
доказываемое равенство уже обосновано
в примере 1,
либо (ax+b)
(cx+d)
ввиду предыдущих рассуждений.
3. Над полем R верно равенство НОД(x3–1, x2–1, x2+3x–4) = R (x–1).
Ясно, что степень любого общего делителя рассматриваемых многочленов не превосходит 2 и не равна 2, т.к. в противном случае многочлены x2–1 и x2+3x–4 были бы пропорциональны (почему ?!), что неверно.
С другой стороны,
все многочлены делятся на x–1
по теореме
Безу, т.к. 1
– их общий
корень. Таким образом, степень наибольшего
общего делителя равна 1
и многочлены
вида (x–1),
где
F
удовлетворяют
определению наибольшего общего делителя.
Если ax+b
– любой
общий делитель рассматриваемых
многочленов, то –
является
их общим корнем, и значит, этот корень
совпадает с единственным корнем 1
многочлена
x3–1,
т.е. ax+b
= a(x–1),
как и выше.
Эти примеры показывают, во-первых, что действовать прямо по определению при отыскании наибольшего общего делителя утомительно, даже в простейших случаях. Во вторых, видно, что хотя наибольший общий делитель многочленов определён не однозначно, эта неоднозначность, видимо, не простирается слишком далеко: все наибольшие общие делители отличаются друг от друга лишь ненулевым множителем из поля F. Поэтому необходимо найти другие методы нахождения НОД(f1 , … , fn ) и исследовать вопрос об его однозначности.