§ 9. Интерполяция многочленов над полем

В этом параграфе будут уточнена теорема о равенстве многочленов, которая утверждает равенство многочленов, принимающих одинаковые значения в любых точках коммутативного кольца без делителей нуля с единицей. Зададимся вопросом:

всегда ли найдётся многочлен f(x)  F[x], принимающий в попарно различных точках ₁ , … , _n  F заданные значения ₁ , … , _n  F : f(_i) = _i (1  i  n) ?

Сразу нужно отметить, что для произвольного коммутативного кольца без делителей нуля с единицей это неверно: многочлен f(x) = f_kx^k+…+f₁x+f₀  Z[x] не может принимать значения 2 при x = 2 и значение 5 при x = 4. Действительно, первое условие f(2) = f_k2^k+…+f₁2+f₀ = 2 гарантирует чётность целого числа f₀ , что противоречит второму условию f(4) = f_k4^k+…+f₁4+f₀ = 5.

Теорема (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть F – поле, ₁ , … , _n – попарно различные точки поля F, ₁ , … , _n  F . Тогда существует однозначно определённый многочлен L(x)  F[x] степени не выше n–1, принимающий в точках ₁ , … , _n заданные значения ₁ , … , _n : L(_i) = _i (1  i  n). Таким образом, любой многочлен степени n–1 над полем полностью определяется своими значениями в n попарно различных точках. При этом имеет место явная формула для нахождения многочлена L(x), называемая интерполяционной формулой Лагранжа:

L(x) = .

Доказательство. Формула Лагранжа определена, т.к. точки ₁ , … , _n попарно различны, и значит, знаменатели всех слагаемых не обращаются в ноль.

Подставляя в формулу Лагранжа значение x = _i , убеждаемся, что Поэтому непосредственно получаем:

f(_i) = = _i . Таким образом, указанный в формуле Лагранжа многочлен принимает заданные значения _i при x = _i (1  i  n).

Многочлен L(x), будучи суммой многочленов степени n–1, сам имеет степень не выше n–1. Таким образом, L(x) – искомый многочлен степени не выше n–1. Он определён однозначно, т.к. если g(x) – ещё один многочлен степени не выше n–1, принимающий заданные значения _i при x = _i (1  i  n), то разность L(x)–g(x) имеет степень не выше n–1 и имеет n различных корней ₁ , … , _n вопреки теореме о числе корней многочлена. Теорема доказана.

Пример: Найти многочлен степени 2 над полем Q , принимающий в точках 0, 1, 2 значения 1, 2, 3.

По интерполяционной формуле Лагранжа имеем:

L(x) = = ( –2 + )x²+(– + 4 – )x+1 = x+1.

Теорема (общий вид интерполяционного многочлена). Пусть F – поле, ₁ , … , _n – попарно различные точки поля F, ₁ , … , _n  F . Тогда любой многочлен g(x)  F[x], принимающий в точках ₁ , … , _n заданные значения ₁ , … , _n (1  i  n) имеет вид

g(x) = L(x)+(x–₁)…(x–_n)q(x),

где q(x) – некоторый многочлен над F.

Доказательство. Многочлен g(x) – L(x) обращается в ноль при любом значении x = _i (1  i  n). Поэтому g(x) – L(x) = (x–₁)…(x–_n)q(x) для некоторого многочлена q(x)  F[x]. Теорема доказана.

Итак, можно восстановить многочлен, зная его значение в некоторых точках. Это простейшая задача интерполяции. Описанные выше методы позволяют решить и более сложную интерполяционную задачу:

всегда ли найдётся такой многочлен f(x)  F[x], что в различных точках ₁ ,…, _n  F он принимает заданные значения ₁ , … , _n  F , в то время как его производная f(x) в тех же точках принимает значения ₁ , … , _n : f(_i) = _i , f(_i) = _i (1  i  n) ?

Теорема (об интерполяции с производными). Пусть F – поле, ₁ , … , _n – попарно различные точки поля F, ₁ , … , _n  F , ₁ , … , _n  F . Тогда существует такой однозначно определённый многочлен f(x)  F[x] степени не выше 2n–1, принимающий в точках ₁ , … , _n заданные значения ₁ , … , _n , что значения его производной в этих же точках равны ₁ , … , _n соответственно: f(_i) = _i , f(_i) = _i (1  i  n). Таким образом, любой многочлен степени 2n–1 над полем полностью определяется своими значениями и значениями своей производной в n попарно различных точках.

Доказательство. Если f(x) – искомый многочлен, то предыдущая теорема позволяет искать его в виде f(x) = L(x)+(x–₁)…(x–_n)q(x), где q(x) – некоторый многочлен степени не выше n–1 (учтено требование d(f)  2n–1). Остаётся найти многочлен q(x). Сведём эту задачу к предыдущей, вычислив значения многочлена q(x) в заданных n точках ₁ , … , _n .

Имеем f(x) = L(x)+[(x–₁)…(x–_n)]q(x)+(x–₁)…(x–_n)q(x) =

= L(x)+q(x) +(x–₁)…(x–_n)q(x) .

Поэтому _i = f(_i) = L(_i)+q(_i)(_i–₁)…(_i–_i–1)(_i–_i+1)…(_i–_n) , и величина

q(_i) =

однозначно определена. Значит можно однозначно восстановить многочлен q(x) степени не выше n–1 по этим значениям. Теорема доказана.

Пример. Найти многочлен, принимающий в точках 0, 1, 2 значения 1, 2, 3 и имеющий в этих точках значения производной –1, 0, 1 соответственно.

Согласно теореме будем искать многочлен в виде f(x) = L(x)+x(x–1)(x–2)q(x), где q(x) – многочлен степени не выше 2. Из предыдущего примера L(x) = x+1, L(x) = 1. Поэтому имеем q(0) = = –1, q(1) = = 1, q(2) = = 0 . Решаем задачу интерполяции для q(x) по формуле Лагранжа:

q(x) = = (– – 1)x²+( + 2)x–1 = – x²+ x–1.

Итак, f(x) = x+1+x(x–1)(x–2)( – x²+ x–1 ) = x+1+x(x²–3x+2)( – x²+ x–1 ) = x+1+ +x(– x⁴ + 8x³ – x² + 10x – 2) = – x⁵ + 8x⁴ – x³ + 10x² – x + 1 .

Упражнения: 1. Существует ли многочлен с целыми коэффициентами, принимающий в точках 1, 2, 3 значения 5, 6, 7 соответственно ? Найдите такой многочлен с рациональными коэффициентами.

2. Найти все многочлены над R, принимающие в точках –1, 0, 1, 2 значения –2, –1, 0, 1 соответственно.

3. Найти все многочлены над R, принимающие в точках –1, 0, 1, 2 значения –2, –1, 0, 1 соответственно и имеющие значение производной в этих точках 0, 1, 0, –1 соответственно.

4. Пусть в поле F заданы попарно различные элементы ₁ , … , _n . Многочлен вида

N(x) = _n–1(x–₁)…(x–_n–1)+_n–2(x–₁)…(x–_n–2)+…+₂(x–₁)(x–₂)+₁(x–₁)+₀ ,

где ₀ , … , _n  F называется интерполяционным многочленом Ньютона порядка n–1. Докажите интерполяционные теоремы этого параграфа, используя интерполяционные многочлены Ньютона.

Пример. Найти многочлен над Q , принимающий в точках 1, 2, 3, 4 значения –4, –1, 0, 1.

Будем искать многочлен в виде N(x) = ₃(x–1)(x–2)(x–3)+₂(x–1)(x–2)+₁(x–1)+₀ . Тогда –4 = N(1) = ₀ , –1 = N(2) = ₁(2–1)+₀ = ₁–4, т.е. ₁ = 3. Аналогично получаем 0 = N(3) = ₂(3–1)(3–2)+3(3–1)+(–4) , 1 = N(4) = ₃(4–1)(4–2)(4–3)–(4–1)(4–2)+3(4–1)–4, т.е. ₂ = –1, ₃ = . Итак,

N(x) = (x–1)(x–2)(x–3) – (x–1)(x–2) + 3(x–1) – 4 =

= [(x–1)(x–2)(x–3) – 3(x–1)(x–2) + 9(x–1) –12] =

= [(x² – 3x + 2)(x–3) – 3x² + 18x – 27] = [x³ – 9x² + 29x – 33].