II. Деление многочлена на двучлен

До сих пор деление многочленов осуществлялось в столбик. Оказывается, что в некоторых случаях для этого можно использовать схему Горнера.

Пусть f(x) = f_nxⁿ+f_n–1x^n–1+…+f₁x+f₀  K[x] ,   K и нужно найти частное и остаток от деления f(x) на двучлен x– . По теореме Безу, остаток равен f() и это значение можно вычислять по схеме Горнера. Присмотримся к процессу деления более пристально.

Пусть f(x) = (x–)q(x)+r, где q(x) = q_n–1x^n–1+q_n–2x^n–2+…+q₁x+q₀ , r = f(). Тогда f_nxⁿ+f_n–1x^n–1+…+f₁x+f₀ = f(x) = (x–)q(x)+r = (x–)( q_n–1x^n–1+q_n–2x^n–2+…+q₁x+q₀)+r =

= qn–1xn	+	qn–2xn–1	+ … +	q1x2	+	q0x	+	r	–
	–	qn–1xn–1	– … –	q2x2	–	q1x	–	q0 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим: q_n–1 = f_n = S_n , q_n–2 – q_n–1 = f_n–1 , т.е. q_n–2 = q_n–1+f_n–1 = S_n+f_n–1 = S_n–1 . Если уже доказано, что q_i = S_i+1 , то q_i–1 – q_i = f_i , т.е. q_i–1 = q_i+f_i = S_i+1+f_i = S_i . Таким образом, формула q_i = S_i+1 справедлива для всех i (0  i  n–1).

Итак, вычисляя значение многочлена f(x) в точке x =  по схеме Горнера, промежуточные значения S_i() (1  i  n) равны коэффициентам q_i–1 частного от деления данного многочлена на двучлен x –  .

Пример: Разделить с остатком f(x) = 3x³ – 2x² + 6 на g(x) = x – 5.

Имеем:

_ 3x³–2x²+6 | x–5

3x³–15x² 3x²+13x+65

_ 13x²+6

13x²–65x

_ 65x+6

65x–325

331

fi	3	–2	0	6
Si(5)	3	13	65	331
	 q2	 q1	 q0	 r

Таким образом, 3x³–2x²+6 = (x–5)(3x²+13x+65)+331, q(x) = 3x²+13x+65, r = 331.

III. Разложение многочлена по степеням двучлена

Поскольку разложение многочлена по степеням двучлена сводится к многократному делению многочленов на двучлен, а каждое такое деление реализуется по схеме Горнера, то эта схема вычислений, очевидно, может быть использована и для решения задачи о разложении многочлена по степеням двучлена.

Пример: Разложить многочлен f(x) = x⁴ – 1 по степеням двучлена x+2.

Ранее эта задача решалась с помощью многократного деления в столбик:

_ x⁴ – 1 | x+2

x⁴+2x³ _ x³–2x²+4x–8 | x+2

_ –2x³–1 x³+2x² _ x²–4x+12 | x+2

–2x

³–4x² _ –4x²+4x–8 x²+2x _ x–6 | x+2

_ 4x²–1 –4x²–8x _ –6x+12 x+2 1 = r₄

4x²+8x _ 12x–8 –6x–12 –8 = r₃

­_ –8x–1 12x+24 24 = r₂

–8x–16 –32 = r₁

15 = r₀

Теперь проделаем те же вычисления, но по схеме Горнера:

fi	1	0	0	0	–1
Si(–2)	1	–2	4	–8	15	 r0
Si(–2)	1	–4	12	–32	 r1
Si(–2)	1	–6	24	 r2
Si(–2)	1	–8	 r3
S(4)i(–2)	1	 r4

Таким образом, f(x) = (x+2)⁴–(x+2)³8+(x+2)²24–(x+2)32+15.