Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева”

Кафедра алгебры и геометрии

Валицкас А.И.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ:

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

Тобольск 2005

С О Д Е Р Ж А Н И Е

	§ 1. Кольцо K[x] многочленов от одного переменного . .	4
	§ 2. Деление многочленов с остатком . . . . .	8
	§ 3. Деление многочленов нацело . . . .	11
	§ 4. Многочлены как функции . . . . . .	13
	§ 5. Формулы Виета . . . . . . . .	15
	§ 6. Формальная производная многочлена . . . .	18
	§ 7. Схема Горнера . . . . . . . .	20
	§ 8. Сводка результатов для многочленов над полем . .	24
	§ 9. Интерполяция многочленов над полем . . . .	25
	§ 10. Наибольший общий делитель многочленов над полем	29
	§ 11. Алгоритм Евклида . . . . . . .	32
	§ 12. Линейное разложение наибольшего общего делителя .	34
	§ 13. Наименьшее общее кратное многочленов над полем .	36
	§ 14. Основная теорема алгебры многочленов над полем .	39
	§ 15. Факториальные кольца . . . . . .	42

§ 1. Кольцо k[X] многочленов от одного переменного

Пусть K – ассоциативное кольцо, x – переменная, a₀ , a₁ , …, a_n  K, n  N  {0}. Выражение вида a_nxⁿ + …+ a₁x + a₀ называется многочленом над K с коэффициентами a₀ , a₁ , …, a_n и мономами a_ixⁱ (0  i  n). Обычно многочлены от переменного x с коэффициентами из K обозначаются символами f(x), g(x), h(x), и т.д., а множество всех таких многочленов – символом K[x]. Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковые коэффициенты при всех степенях переменной x, т.е. если множества их мономов равны между собой.

Для краткости будем опускать в многочленах нулевые мономы вида 0xⁱ с нулевыми коэффициентами, а в случае, когда K – кольцо с единицей 1, будем писать вместо 1xⁱ просто xⁱ. Многочлен, в котором все мономы нулевые, называется нулевым и обозначается через 0. Удобно коэффициенты многочлена f(x) обозначать через f_i , а сам многочлен f(x) = = f_nxⁿ + …+ f₁x + f₀ записывать в виде бесконечного ряда: f(x) = , предполагая при этом, что f_i = 0 для i > n.

Любой элемент a  K можно рассматривать в виде ряда a+0x+0x²+…, являющегося, конечно, многочленом. Таким образом, можно считать, что K  K[x].

Операции сложения и произведения многочленов

На множестве рядов введём следующие операции: суммой двух рядов f(x) = , g(x) = назовём ряд f(x)+g(x) = , а их произведением – ряд f(x)g(x) = = . Эти формулы однозначно определены для любых двух рядов f(x) и g(x), которые даже не обязаны быть многочленами.

Оказывается, что если f(x), g(x)  K[x], то сумма f(x)+g(x) и произведение f(x)g(x) будут многочленами. Действительно, пусть f_i = 0 при i > n, а g_j = 0 при j > m. Тогда f_i + g_i = 0 при i > max{n, m}, т.е. сумма многочленов имеет лишь конечное число ненулевых мономов, и потому сама является многочленом. Аналогично доказывается, что коэффициенты произведения равны нулю при i > n+m. В самом деле, если i > n+m , то для любого k  {0, …, i} либо k > n и тогда f_k = 0, либо k  n, но i – k > n + m – n = m и поэтому g_i–k = 0. Таким образом, при i > n+m каждое слагаемое суммы обращается в ноль, так что вся сумма нулевая. Итак, введённые операции сложения и умножения являются алгебраическими операциями на множестве многочленов K[x].

Эти операции согласуются с обычными школьными определениями суммы и произведения многочленов. Для сложения это очевидно. Для того чтобы убедиться в согласованности определений умножения, рассмотрим пример.

Пример: Вычислим про­из­ведение двух многочленов f(x) = f₂x²+f₁x+f₀ и g(x) = = g₃x³+g₂x²+g₁x+g₀ с произвольными коэффициентами по школьным правилам:

f(x)g(x) = (f₂x²+f₁x+f₀)(g₃x³+g₂x²+g₁x+g₀ ) =

= f₂g₃x⁵+f₂g₂x⁴+f₂g₁x³+f₂g₀x²+

+f₁g₃x⁴+f₁g₂x³+f₁g₁x²+ f₁g₀x+

+ f₀g₃x³+f₀g₂x²+f₀g₁x+f₀g₀ =

= f₂g₃x⁵+(f₂g₂+f₁g₃)x⁴+(f₂g₁+f₁g₂+f₀g₃)x³+(f₂g₀+f₁g₁+f₀g₂)x²+(f₁g₀+f₀g₁)x+f₀g₀ .

С другой стороны, по правилу умножения рядов, коэффициент при xⁱ в f(x)g(x) равен . Например, при x⁴ он равен = f₀g₄+f₁g₃+f₂g₂+f₃g₁+f₄g₀ . На самом же деле это выражение совпадает с f₂g₂+f₁g₃ , т.к. f₄ = f₃ = 0 и g₄ = 0 .

Те же соображения, применённые в общем случае, показывают, что вычисление произведения двух многочленов по школьным правилам и по формуле перемножения рядов даёт одинаковые результаты.

Теорема (о кольце многочленов от одного переменного).

1. Алгебра (K[x], + ,  ) является ассоциативным кольцом относительно введённых операций сложения и умножения.

2. Кольцо коэффициентов K является подкольцом в K[x].

3. Кольцо K[x] коммутативно тогда и только тогда, когда коммутативно кольцо K.

4. Кольцо K[x] содержит единицу тогда и только тогда, когда K – кольцо c единицей.

5. Кольцо K[x] не содержит делителей нуля тогда и только тогда, когда K не содержит делителей нуля.

Доказательство. (1) Ясно, что K[x]   (0  K[x]) и, как было замечено выше, операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями на K[x]. Остаётся только проверить аксиомы кольца.

(A+):  f(x), g(x), h(x)  K[x] (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x))

В самом деле, если f(x) = , g(x) = , h(x) = , то (f(x)+g(x))+h(x) = = + = = = = + = f(x)+(g(x)+h(x)).

(K+):  f(x), g(x)  K[x] f(x)+g(x) = g(x)+f(x)

Действительно, если f(x) = , g(x) = , то f(x)+g(x) = = = = g(x)+f(x).

(N+):  0  K[x]  f(x)  K[x] 0+f(x) = f(x)+0 = f(x)

Читателю предоставляется возможность убедиться самостоятельно в том, что нулевой многочлен 0 = является нейтральным по сложению.

(O+):  f(x)=  K[x]  –f(x)=  K[x] f(x)+(–f(x)) = 0 = (–f(x))+f(x)

Проверьте это самостоятельно.

Итак, (K[x], +) – абелева группа.

(А):  f(x), g(x), h(x)  K[x] (f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x))

В самом деле, если f(x) = , g(x) = , h(x) = , то

Т аким образом, для проверки аксиомы (А) нужно доказать, что  p  0 . Для этого поменяем порядок и пределы суммирования аналогично тому, как это делается при замене переменных в интегралах. Чтобы не запутаться, уместно ввести другие обозначения для переменных: , что и требовалось.

(D+,)  f(x), g(x), h(x)  K[x] (f(x)+g(x))h(x) = f(x)h(x)+g(x)h(x)

 f(x), g(x), h(x)  K[x] f(x)(g(x)+h(x)) = f(x)g(x)+f(x)h(x)

Действительно, если f(x) = , g(x) = , h(x) = , то