МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА

ЯКОСТІ»

Вища математика конспект лекцій та тренувальні вправи

за темою : «Визначений інтеграл»

для підготовки бакалаврів

з спеціальності 6.051001 «Метрологія та інформаційно-вимірювальні технології»

6.051002 «Метрологія, стандартизація та сертифікація»

Укладач: к.Т.Н. Зборовська і.А., ст.Викладач Лінкова о.В.

Розглянуто на засіданні

кафедри загально-технічної та

фундаментальної підготовки

Протокол № 1 від 30.08 2011р

Одеса

2011

2. Визначений інтеграл

2.1 Визначений інтеграл та його властивості

Нехай подрібнення –визначена на функція.

- довільні точки проміжків подрібнення. Сума

називається інтегральною сумою функції для подрібнення .

Зрозуміло, що вона залежить від вибору точок .

На рис. Інтегральна сума-площа заштрихованої фігури,

складеної з прямокутників. Нехай –нормальна послідовність подрібнень.

- визначена на функція, послідовність інтегральних сум. Якщо існує границя , яка не залежить від вибору нормальної послідовності , ні від вибору внутрішніх точок при утворенні інтегральних сум , то вона називається визначеним інтегралом функції на проміжку [a;b] і позначається символом . Якщо функція неперервна на [a;b],то існує.

Наприклад 1. існує, бо функція неперервна на [1;2] . Щоб обчислити цей інтеграл, візьмемо нормальну послідовність подрібнень , де . За точки беремо точки . Будуємо інтегральні суми:

Взявши до уваги , що і , подаємо: .

Приклад 2. Розглянемо на проміжку [0;1] функцію Діріхле:

0, якщо х-раціональне число,

1, якщо х-ірраціональне число

Нехай –довільна нормальна послідовність подрібнень [0;1] . Якщо всі точки раціональні , то , а якщо ірраціональні, то ,тому залежить від вибору точок (ця границя або дорівнює 0, або 1, або ж зовсім не існує). Отже, не існує.

Властивості визначеного інтеграла

1. Якщо існує ( функція інтегрована на [a;b], то для будь-якого числа a

2. Якщо функції і інтегровані на [a;b], то також інтегрована на [a;b] i

3. Якщо функції і інтегровані на [a;b] i для всіх , то

4. 5.

6.

7. Якщо і існують, то

.

8. Якщо функція неперервна на [a;b], то для певної точки справджується рівність .

9. Якщо неперервна на [a;b] функція і , то = для всіх .

10. Якщо функція неперервна на [a;b], то справджується формула Ньютона-Лейбніца

де –довільна первісна функції .

11. Формула інтегрування частинами.

Якщо функції і неперервні на [a;b] і мають неперервні похідні, то

Приклад 3. Обчислити

Застосовуємо властивість 11, поклавши

Матимемо:

12. Формула заміни змінної.

Якщо: функція неперервна на проміжку [ a; ] і має на цьому проміжку неперервну похідну і при умові функція неперервна на [a;b], то

Приклад 4. Обчислити

Застосовуємо заміну змінної :