25 Билет. Сызықты теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу

Гаусс әдiсi сызықты теңдеулер жүйесiн шешудегi универсалды әдiстердiң бiрi деп есептелiнедi. Бұл әдiс кейде айнымалыларды бiртiндеп жою әдiсi деп те аталынады. (2) теңдеулер жүйесiн қарастырайық. Осы теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасының жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрица түрiне келтiруге болады. Мысалы, бiр айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ) және оны осы айнымалының алдындағы коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден өзге болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бөлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бөлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процесстi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде барлығы нөлден тұратын жолды алып тастауға болады. Кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нөлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нөл емес жол кездесуi мүмкiн. Онда берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз.

Сонымен кеңейтiлген матрицаның жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрицаға келтiремiз:

(9)

Бұл матрицаға мынадай теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:

(10)

мұндағы Осы (10) теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен белгiсiздi басқа арқылы өрнектеймiз. Содан кейiн -ы жүйенiң соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып белгiсiздi арқылы өрнектеймiз, содан кейiн белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз көп шешiмдерiн аламыз.

Е с к е р т у. Егер сатылы матрица үшбұрышты болса, яғни онда берiлген жүйенiң тек қана бiр шешiмi болады. Соңғы теңдеуден белгiсiздi тауып оны соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып тағы солай жалғастырып -лердi табамыз.