14 билет. Функцияның шегі. Біржақты шектер.

Анықтама. Егер функция нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы нүктеден басқа, және кез келген санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық үшін мына теңсіздік орындалса

Онда саны функцияның нүктесіндегі шегі деп аталады.

Функцияның шегін

немесе деп белгiлеймiз.

Анықтама. санын функцияның нүктесіндегi сол жақты шегі дейді, егер

санын функцияның нүктесіндегi оң жақты шегі дейді, егер

Сол жақты және оң жақты шектер біржақты шектер деп аталады. Егер сол жақты және оң жақты шектер бар болса және олар бiр-бiрiмен тең, онда функцияның нүктеде шегі бар, яғни болса, онда

Егер онда шегі болмайды.

Тамаша шектер

1. Бiрiншi тамаша шекдеп мына өрнекті айтады:

_2. Екiншi тамаша шек немесе Мұндағы иррационал сан, егер саны логарифмнің негізі болса, онда ол логарифмді натурал логарифмі деп атайды да, былай белгілейді

15 билет. Функцияның нуктедегі және кесіндідегі үзіліссіздігі, қасиеттері. Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

Нүктедегі үзіліссіз функцияның анықтамалары және қасиеттері.

Анықтама 1. Егер болса, онда функциясын нүктеде үзiлiссiз дейдi. Яғни функцияның нүктедегi шегi оның нүктедегi мәнiне тең.

Анықтама 2. Егер кез келген үшiн саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық үшiн

теңсiздiгi орындалса, онда функциясын нүктеде үзiлiссiз деп аталады.

айырымды аргументтiң өсiмшесi, ал оған сәйкес айырымды функцияның өсiмшесi деп атайды.

Анықтама 3. Егер тәуелсiз айнымалының ақырсыз аз өсiмшесiне функцияның ақырсыз аз өсiмшесi сәйкес келсе, яғни ұмтылса, онда функциясын берiлген нүктеде үзiлiссiз дейдi.

Осы үшінші анықтаманы пайдаланып қарапайым функциялардың кез келген нүктеде үзіліссіз болатындығын дәлелдеуге болады.

Нүктедегi үзiлiссiз функциялардың қасиеттерi:

1. Егер және функциялары нүктеде үзiлiссiз болса, онда осы нүктеде функциялары да үзiлiссiз болады.

2. функциясы нүктеде үзiлiссiз, ал функциясы нүктеде үзiлiссiз болсын, онда күрделi функция нүктеде үзiлiссiз болады.

3. Егер нүктеде функциясы үзiлiссiз болса, онда осы нүктенiң аймағы табылып, осы аймақта функциясы шенеулi болады.

Функцияның үзіліс нүктелері

функцияның анықталу облысы болсын. Бұл функция нүктеде үзiлiссiз болу үшiн мына үш шарт орындалу керек:

1. функциясы нүктеде анықталған, яғни

2. бар.

Егер нүктеде осы шарттардың кемiнде бiреуi орындалмаса, онда нүктесi функцияның үзiлiс нүктесi деп аталады.

1. Егер бар болса, бірақ функция нүктеде анықталмаса немесе

шарты орындалмаса, онда функцияның жөнделетiн үзiлiс нүктесi деп аталады.

2. Егер жоқ, бiрақ функцияның екi жақты шектерi бар болса, яғни

онда функциясының бiрiншi тектi үзiлiс нүктесi деп аталады.

4. Егер және шектердiң кемiнде бiреуi болмаса немесе шектерi ақырсыз болса (шектерi немесе ұмтылса) онда функцияның екiншi тектi үзiлiс нүктесi деп аталады.

16 Билет. Туындының анықтамасы. Геометриялық мағынасы.

Анықтама. функцияның нүктедегi туындысы деп, оның осы нүктедегi өсiмшесiнiң оған сәйкес аргументтiң өсiмшесiне қатынасының нөлге ұмтылғандағы шегiн айтады, егер ол шек бар болса.

Анықтама. Егер функциясы нүктенiң кейбiр маңайында оң жақты (сол жақты) анықталса және шек бар болса, онда ол функцияның нүктедегi оң жақты (сол жақты) туындысы деп аталады да (немесе ) деп белгiленедi. Сонымен, функцияның нүктеде туындысы болуы үшiн болуы керек.

Егер болмаса, онда функциясының нүктеде туындысы жоқ.

Теорема. нүктеде шенелген туындысы бар кез келген функция осы нүктеде үзiлiссiз, ал кері тұжырым дұрыс емес.

Туындының геометриялық мағынасы мынандай:

функциясының нүктедегі туындысы осы функцияның графигінің нүктесінен жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең. Жанаманың теңдеуі . Ал нүктеде жүргізілген перпендикулярдың теңдеуі .

Туындының механикалық мағынасы. 

Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының t уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы  v(t)=S`(t),  үдеуі a(t)= v`(t)=S``(t).