1.Жиын ұғымы. Анықтама. Заттардың қандайда бiр белгiлерi бойынша бiрiгетiн жиынтығын жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементi деп аталады. Жиындарды латын алфавитiнiң бас әрiптерi арқылы, ал олардың элементтерiн кiшi әрiптермен белгiлейдi. Егер элементi жиынында жататын болса, ол былай жазылады ал мына жазу немесе , элементi жиынында жатпайтындығын көрсетедi. Бiрде-бiр элементi жоқ жиынды бос жиын деп атайды да, символымен белгiлейдi.Егер жиынының әрбiр элементi жиынының элементi болса, онда жиынын жиынының iшжиыны деп атайды да символымен белгiлейдi. Анықтама. және жиындары тең дейді, егер және болса.Анықтама. және жиындардың қосындысы немесе бiрiгуi деп элементтерi ең кем дегенде жиынында немесе жиынында жататын жиынын айтады, яғни Анықтама. және жиындардың көбейтiндiсi немесе қиылысуы деп элементтерi бiр мезгiлде жиынында және жиынында жататын жиынын айтады, яғни А нықтама. және жиындардың айырымы деп элементтерi жиынның элементтерiнен тұратын ал бiрақ жиынында жатпайтын жиынын айтады, яғни .Нақты сандар жиыны.

Элементтері сан болатын жиынды нақты сандар жиыны деп аталады. Сандық жиындарға мысалдар: - натурал сандар жиыны; - бүтін сандар жиыны; - рационал сандар жиыны; - нақты сандар жиыны.

Рационал сандарды ақырлы немесе ақырсыз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы:

Ақырсыз периодты емес ондық бөлшектен тұратын, рационал емес сандарды иррационал сандар деп атайды.Мысалы: және т.б.Рационал және иррационал сандар жиыны бiрiгiп нақты сандар жиынын құрайды.К омплекс сандардың анықтамасы

Анықтама. Кез келген нақты сандар қосағын комплекс сандар деп атайды, егер олар үшін теңдік және қосу мен көбейту амалдар ұғымы былай анықталса:

1. Екі және комплекс сандарды бір бірімен тең дейміз, тек сонда ғана, егер болса;

2. Екі және комплекс сандардың қосындысы деп комплекс санын айтады.

3. Екі және комплекс сандарының көбейтіндісі деп комплекс санын айтады.

комплекс санды жорымал бірлік деп атайды да әрпімен белгілейді.

Сонымен әрбір комплекс санды түрінде жазуға болады. Мұндағы комплекс санының нақты бөлігі, комплекс санның жорымал бөлігі деп аталады. түрдегі комплекс сандарды алгебралық формадағы комплекс сан деп атайды.

2.Екінші ретті анықтауыштар және оның қасиеттері.Анықтама. саны екінші ретті анықтауыш (немесе детерминант) деп аталады да, мына түрде жазылады:

Мұндағы және сандары анықтауыштың элементтері деп аталады. Анықтауыштың бірінші жолы элементтерден, екінші жолы және , бірінші бағана , екінші бағана элементтерден тұрады.

Анықтауыштың қасиеттері:1-қасиет. Анықтауыштың жолдарын сәйкес бағандарменалмастырсақ, онда оның шамасы өзгермейді.2-қасиет. Егер анықтауыштың жолдарының(бағандарының) орнын ауыстырсақ, онда оның таңбасы өзгереді.3-қасиет. Егер анықтауыштың кейбір жолының немесе бағанының барлық элементтері нөл болса, онда анықтауыштың шамасы нөлге тең. 4-қасиет. Егер анықтауыштың кейбір жолының (бағанасының) элементтерін санына көбейтсек, онда анықтауыштың шамасы да осы санына көбейтіледі. Яғни, жолының немесе бағанының ортақ көбейткішін анықтауыштың таңбасының алдына шығаруға болады.5-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолдарының (екі бағандарының) элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөлге тең.6-қасиет.Анықтауыштың қайсібір жолының (бағанасының) элементтеріне басқа жолдың (бағанның) элементтерін бірдей санына көбейтіп қосқаннан, анықтауыштың шамасы өзгермейді.7-қасиет. Егер анықтауыштың қайсібір жолы (бағаны) екі санның қосындысынан тұрса, онда бұл анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең.Үшінші және -ші ретті анықтауыштар ұғымы.Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш (детерминант) деп, мына түрде жазылған

және үшбұрыштар тәсілі арқылы есептелінетін санын айтады.Анықтама. -шіретті анықтауыш деп мына түрде жазылған:

санын айтады.

Үшінші және -ші ретті анықтауыштар жоғарыдағы екінші ретті анықтауыштың жеті қасиеттерін қанағаттандырады.

3. Матрица ұғымы. жолдан бағаннан тұратын, тік бұрышты сандар кестесі өлшемді матрица деп аталады да, мына жазулардың бірімен белгіленеді:

сандары матрицаның элементтері деп аталады. Егер матрицаның жолдарының саны бағандарының санына тең болса, яғни онда матрицаны -ші ретті квадрат матрица деп атайды.Бір бағаннан тұратын матрицаны бағана-матрица немесе бағана векторы деп атайды.Бір жолдан тұратын матрицаны жол-матрица немесе жол-векторы деп атайды. Барлық элементтері нөлге тең матрицаны нөлдік матрица дейді де, әрпімен белгілейді. Бас диагоналының элементтері бірге тең, ал қалған элементтері нөлге тең квадрат матрицаны бірлік матрица деп атайды да әрпімен белгілейді. -ші ретті квадрат матрицаның анықтауышы деп

Матрицаға қолданылатын амалдар.1.Матрицаларды қосу. Бірдей өлшемді екі матрицаны қосуға (алуға) болады. Екі матрицаның қосындысы (айырымы) деп элементтері осы матрицалардың сәйкес элемент-терінің қосындысына (айырымына) тең болатын жаңа матрицаны айтады.2.Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның әрбір элементін осы санға көбейту керек.3.Матрицаларды көбейту. Екі матрицаны және -ы келісілген дейді, егер матри-цаның бағандарының саны матрицаның жолдарының санына тең болса, яғни және болса. Тек екі келісілген матрицаларды бір-бірімен көбейтуге болады. және матрицалардың көбейтіндісі деп, элементтері мына формуламен есептелінетін

жаңа матрицасын айтады. . Кері матрица

-ші ретті квадрат матрицасы өзгеше емес болсын.Анықтама. матрицаны матрицаға кері дейді, егер мына теңдік орындалса

Теорема. Квадрат матрицаның кері матрицасы болу үшін, оның өзгеше емес болуы қажетті және жеткілікті.Кері матрица мына формуламен есептелінеді:

4.Сызықты теңдеулер жүйесiн Гаусс әдiсiмен шешу.Гаусс әдiсi сызықты теңдеулер жүйесiн шешудегi универсалды әдiстердiң бiрi деп есептелiнедi. Бұл әдiс кейде айнымалыларды бiртiндеп жою әдiсi деп те аталынады. (2) теңдеулер жүйесiн қарастырайық. Осы теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасының жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрица түрiне келтiруге болады. Мысалы, бiр айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ) және оны осы айнымалының алдындағы коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден өзге болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бөлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бөлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процесстi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде барлығы нөлден тұратын жолды алып тастауға болады. Кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нөлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нөл емес жол кездесуi мүмкiн. Онда берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз.Сонымен кеңейтiлген матрицаның жолдарына элементарлы түрлендiру арқылы оны сатылы матрицаға келтiремiз:

(9)

Бұл матрицаға мынадай теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:

(10)

мұндағы Осы (10) теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен белгiсiздi басқа арқылы өрнектеймiз. Содан кейiн -ы жүйенiң соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып белгiсiздi арқылы өрнектеймiз, содан кейiн белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз көп шешiмдерiн аламыз.Е с к е р т у. Егер сатылы матрица үшбұрышты болса, яғни онда берiлген жүйенiң тек қана бiр шешiмi болады. Соңғы теңдеуден белгiсiздi тауып оны соңғы теңдеудiң алдыңғы теңдеуiне қойып тағы солай жалғастырып -лердi табамыз.

5. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Векторлардың қосындысы. (Үшбұрыштар ережесі). Кеңiстiкте және кез келген екi вектор берiлсiн. Кез келген нүктесiн алып векторын тұрғызамыз. нүктесiнен векторын тұрғызамыз. және векторлардың қосындысы деп вектордың басы мен вектордың соңғы нүктесiн қосатын векторын айтады.

Екi және векторлардың айырымы деп және векторлардың қосындысы болатын векторын айтады. вектордың нақты санға көбейтiндiсi деп ұзындығы тең, векторына коллинеарлы, егер болса, онда векторына бағыттас, егер онда векторына қарама-қарсы бағыттас векторын айтады. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдардың қасиеттері:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

Векторлардың проекциялары.Анықтама. нүктесінің түзуіндегі проекциясы деп нүктесінайтады. Бұл нүкте нүкте арқылы өтетін түзуіне жүргізiлген перпендикуляр жазықтықтың түзуімен қиылысқан нүктесі.Анықтама. вектордың бағытталған түзуіндегі проекциясы деп векторын айтады, мұндағы нүктелерi және нүктелердiң бойындағы сәйкес проекциялары. Бұл проекцияны деп белгiлейдi.Анықтама. Екі вектордың арасындағы бұрыш деп, бір вектордың бағытын екінші вектордың бағытына сәйкес келетіндей етіп бұратын ең кіші бұрышын айтады.Анықтама. вектордың түзуіндегі сандық проекциясы деп, вектордың ұзындығының векторы мен түзудің арасындағы бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады, яғни

және векторлардың бойындағысандықпроекцияларыныңмынадайқасиеттерібар:

1. 2.

6. Векторлардыңскалярлықкөбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері

Анықтама. және екі векторлардың скалярлық көбейтіндісі деп, екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін олардың арасындағы бұрышының косинусына көбейткенге тең санын айтады, яғни

Бұл скалярлық көбейтіндіге басқаша да анықтама беруге болады.Анықтама. және екі векторлардың скалярлық көбейтіндісі деп, вектордың ұзындығын вектордың бағытындағы сандық проекциясына көбейтіндісін немесе вектордың ұзындығын вектордың бағытындағы сандық проекциясына көбейтіндісін айтады, яғни Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері:1. 2. 3.

7.Векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы және қасиеттері

Анықтама: Бас нүктелері бір нүктеге орналасқан ортонормалданған және векторлар үштігін оң (сол) дейміз, егерде вектордың соңғы нүктесінен қарағанда -ден векторына бұратын ең кіші бұрылыс сағат тіліне қарсы (сағат тіліне бағыттас) бағытта көрінсе.Анықтама: Екi мен векторларының векторлық көбейтiндiсi деп келесi үш шартты қанағаттандыратын векторын айтады үштiгi оң үштiк құрайды.Векторлық көбейтiндiнiң кейбiр қасиеттерi:

1-қасиет вектордың ұзындығы, бас нүктелерi бiр нүктеге орналасқан мен векторларынан құрылған параллелограммның ауданына тең.

2-қасиет. Векторлық көбейтiндi нөлге тең, егер мен векторлары коллинеарлы болса немесе екеуiнiң бiреуi нөлдiк вектор болса.

3-қасиет.

4-қасиет.

5-қасиет. Егер және векторлардың координаттары берілсе, онда олардың векторлық көбейтіндісін былай жазуға болады: Онда және векторлардан құрылған параллелограммның ауданы және векторлардан құрылған үшбұрыштың ауданы.