1. «А» и «в» - равнозначные понятия.

Тогда А/В=А=О В качестве частного случая имеем А/А=О

«Зависть» / « печаль по поводу счастья друзей» = «печаль по поводу счастья друзей» / «печаль» =О (согласно Сократу)

«Печаль»/ «печаль»= О

Деление – логическая операция, раскрывающая объем понятия, это распределение объема исходного понятия на виды, группы, классы, части по единому для них признаку(основанию деления).

В делении различают делимое понятие, основание(признак) деления и члены деления.

Основанием деления должен быть общий для всех членов деления признак; видоизменение этого признака как раз и отличает один член деления от другого. Наличие основания деления отличает эту операцию от простого расчленения предмета на части.

9) Суждение - это форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается о классе, некоторой его части или отдельном предмете.

Суждение - это мысль, в которой утверждается или отрицается свойство у предмета, действие предмета, наличие или отсутствие некоторой ситуации или отношение между предметами. Суждение выражается, обычно, в повествовательном предложении (реже - в вопросительном, так называемых риторических вопросах, или в восклицательном). Суждение, рассматриваемое вместе с выражающим его предложением, называется высказыванием. Если предложение - это языковое выражение, группа слов, выражающая мысль, а суждение - это мысль, в которой что-то утверждается или отрицается, то высказывание - это суждение, выраженное в языке.

Поскольку в суждении нечто утверждается или отрицается о чем-то, в нем выделяют две части: то, о чем говорится, и то, что говорится. То, о чем говорится, предполагается уже известным к моменту высказывания, а то, что говорится - новая информация, которую содержит данное суждение. То, о чем говорится, называется субъектом суждения, а то, что утверждается или отрицается в суждении - предикатом суждения.

10) Простые и сложные суждения

Простые суждения — суждения, составными частями которых являются понятия. Простое суждение можно разложить только на понятия.

Сложные суждения — суждения, составными частями которых являются простые суждения или их сочетания. Сложное суждение может рассматриваться как образование из нескольких исходных суждений, соединенных в рамках данного сложного суждения логическими союзами (связками). От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения.

Состав простого суждения

Простое (атрибутивное) суждение — это суждение о принадлежности предметам свойств (атрибутов), а также суждения об отсутствии у предметов каких-либо свойств. В атрибутивном суждении могут быть выделены термины суждения — субъект, предикат, связка, квантор.

Субъект суждения — это мысль о каком-то предмете, понятие о предмете суждения (логическое подлежащее).

Предикат суждения — мысль об известной части содержания предмета, которое рассматривается в суждении (логическое сказуемое).

Логическая связка — мысль об отношении между предметом и выделенной частью его содержания (иногда только подразумевается).

Квантор — указывает, относится ли суждение ко всему объёму понятия, выражающего субъект, или только к его части: «некоторые», «все» и т. п.

Состав сложного суждения

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит, и любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дизъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Дизъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизъюнктивных) логических связок (аналогичных союзу «или»). Подобно простым разделительным суждениям, они бывают:

нестрогими (нестрогая дизъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование («то ли…, то ли…»). Записывается как  ;

строгими (строгая дизъюнкция), члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое). Записывается как  .

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, (эквивалентно союзу «если …, то»). Записывается как   или  . В естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня ни одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания или конъюнкции (эквивалентно запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим). Записывается как  .

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»). Записывается как   (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества всё-таки  ).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок отрицания «не». Записываются либо как a ~ b, либо как a b (при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь»), а также с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении): «не верно, что …» (a b).

11) Категорические — суждения, в которых сказуемое утверждается относительно субъекта без ограничений во времени, в пространстве или обстоятельствах; безусловное суждение (S есть P). Пример: «Все люди смертны».

В логике используется объединённая классификация из четырёх видов категорических суждений:

1. Общеутвердительные (А): Все S есть Р

2. Общеотрицательные (Е): Ни одно S не есть Р

3. Частноутвердительные (I): Некоторые S есть Р

4. Частноотрицательные (О): Некоторые S не есть Р

Терминами категорического суждения называются субъект и предикат этого суждения. Термин распределён, если он рассматривается в данном суждении во всём объёме, т.е., если он полностью включается в объём другого понятия или полностью исключается из него. В противном случае термин не распределён.

В суждениях (А) субъект распределён, а предикат, как правило, не распределён. В случае, когда термины суждения являются тождественными понятиями, они оба распределены.

В суждении (I) квантор "некоторые" показывает, что субъект данного вида суждения всегда не распределён, т.к. только часть его объёма относится к предикату. Предикат, как правило, также не распределён, кроме случаев, когда объём предиката полностью входит в объём субъекта и, таким образом, предикат оказывается распределён. Этот вид суждений, где объём предиката меньше объёма субъекта, называют частными выделяющими суждениями (в отличие от общих выделяющих, где Р > S ).

Суждение (Е) состоит из терминов, которые благодаря квантору "ни одно" и отрицательной связке, не имеют общих элементов объёмов. Другими словами, объём субъекта полностью исключается из объёма предиката, и наоборот – это означает, что оба термина распределены.

Суждение (О) имеет кванторное слово "некоторые", т.е. объём субъекта мыслится только частично. Предикат в этом суждении, напротив, распределён, поскольку все элементы его объёма исключены из мыслимой части объёма субъекта.

12) Диаграмма, служащая для мнемонического запоминания логических отношений между видами суждений по объединенной классификации. Вершины квадрата обозначают вид суждения по объединенной классификации А , Е , 0 , I. Стороны и диагонали символизируют логические отношения между простыми суждениями (кроме эквивалентных). Верхняя сторона есть О отношение А и Е - противоположность (контрарность); нижняя сторона - отношение между I и O - частичная совместимость(субконтрарность);две вертикальные стороны - отношения между А и I (левая), Е и О (правая) - подчинение; диагонали - отношения между А и О, Е и I- противоречие(контрадикторность).

Отношения противоположности – суждения находящиеся в отношении противоположности не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

Все мужчины галантны. Ни один мужчина не галантен. Если одно из противоположных истинно, то другое ложно, но не наоборот. А истинно, Е ложно. ∀ (x)(S(x) ⊃ P(x)) ⊃ ∀- (x)(S(x) ⊃ P-(x)) Если верно, что все S суть P, то неверно, что ни одно S не суть P.

Отношения противоречия – суждения находящиеся в состоянии противоречия не могут быть одновременно не ложными, не истинными. Если одно из них истинно, то другое непременно ложно, и наоборот. А истинно, O – ложно. ∀ (x)(S(x) ⊃ P(x)) ⊃ ∃- (x)(S(x) ⋀ P-(x)) Если верно, что все S суть P, то неверно, что некоторые S не суть P.

Отношения подчинения – суть отношений подчинения заключается в том, что истинность подчинённых суждений, гарантируется истинностью общих суждений. Ложность подчинённых, обуславливает ложность общих. A истинно, E – ложно. ∀ (x)(S(x) ⊃ P(x)) ⊃ ∃ (x)(S(x) ⋀ P(x)) Если верно, что все S суть P, то верно, что и некоторые S суть P. Отношения подпротивности – суждения находящиеся в отношении подпротивности не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Если одно из суждений ложно, то другое непременно истинно, но не наоборот.

13) В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них – непосредственно, в результате воздействия предметов внешней действительности на наши органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем путем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Данные знания называются опосредованными, или выводными.

Логической формой получения выводных знаний является умозаключение.

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.

Любое умозаключение состоит из посылок, заключения и вывода. Посылками умозаключения называют исходные суждения, из которых выводится новое суждение. Заключением называется новое суждение, полученное логическим путем из посылок. Логический переход от посылок к заключению называется выводом.

Например: «Судья не может принимать участие в рассмотрении дела, если он является потерпевшим (1). Судья Н. – потерпевший (2). Значит, судья Н. не может принимать участие в рассмотрении дела (3)». В этом умозаключении (1) и (2) суждения – посылки, а (3) – заключение.

При анализе умозаключения посылки и заключение принято записывать отдельно, располагая их друг под другом. Заключение записывают под горизонтальной чертой, отделяющей его от посылок и обозначающей логическое следование. Слова «следовательно» и близкие ему по смыслу (значит, поэтому и др.) под чертой обычно не пишутся. В соответствии с этим приведенный нами пример выглядит так:

Судья не может принимать участие в рассмотрении дела, если он является потерпевшим.

Судья Н. – потерпевший.

Судья Н. не может принимать участие в рассмотрении дела.

Отношение логического следования между посылками и заключением предполагает связь между посылками по содержанию. Если суждения не связаны по содержанию, то вывод из них невозможен. Например, из суждений: «Судья не может принимать участие в рассмотрении дела, если он является потерпевшим» и «Обвиняемый имеет право на защиту» нельзя получить заключения, так как эти суждения не имеют общего содержания и, следовательно, логически не связаны друг с другом.

При наличии содержательной связи между посылками мы можем получить в процессе рассуждения новое истинное знание при соблюдении двух условий: во–первых, исходные суждения – посылки умозаключения должны быть истинными; во–вторых, в процессе рассуждения следует соблюдать правила вывода, которые обусловливают логическую правильность умозаключения.

14)Умозаключения делятся на следующие виды.

1. В зависимости от строгости правил вывода различают демонстративные (необходимые) и недемонстративные (правдоподобные) умозаключения. Демонстративные умозаключения характеризуются тем, что заключение в них с необходимостью следует из посылок, т.е. логическое следование в такого рода выводах представляет собой логический закон. В недемонстративных умозаключениях правила вывода обеспечивают лишь вероятностное следование заключения из посылок.

2. Важное значение имеет классификация умозаключений по направленности логического следования, т.е. по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключении. С этой точки зрения различают три вида умозаключений: дедуктивные (от общего знания к частному), индуктивные (от частного знания к общему), умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).

Дедуктивными (от латинского deductio – «выведение») называется умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Правила дедуктивного вывода определяются характером посылок, которые могут быть простыми (категорическими) или сложными суждениями. В зависимости от количества посылок дедуктивные выводы из категорических суждений делятся на непосредственные, в которых заключение выводится из одной посылки, и опосредствованные, в которых заключение выводится из двух посылок.

15) Умозаключение по аналогии — это вывод о том, принадлежит ли некоторый признак исследуемому единичному объекту на основе его сходства в существенных чертах с другим уже известным единичным объектом.

Аналогия может быть строгой или нестрогой.

Для строгой аналогии, необходима связь переносимого признака со сходными признаками, и в этом случае умозаключение носит доказательный характер, а получаемые в результате выводы являются достоверными.

Для нестрогой аналогии зависимость между сходными и переносимыми признаками не является необходимой. Полученные при этом выводы носят только лишь вероятностный характер и требуют дальнейшей проверки.

Условия, повышающие вероятность выводов в нестрогой аналогии:

- сходство сравниваемых предметов в значительном числе существенных признаков, т.е. чем больше существенных сходств, тем основательнее вывод по аналогии;

- отсутствие существенных различий между сравниваемыми предметами.

Аналогия широко применяется в области права. В частности, в некоторых странах она применяется в процессе судопроизводства на основе прецедента. Например, в Великобритании суд традиционно сравнивает обстоятельства конкретного дела с обстоятельствами ранее рассмотренных дел и выносит аналогичное решение.

Умозаключение по аналогии широко используется, например, криминалистических экспертизах идентификации личности или предметов — при сравнении отпечатков пальцев, следов ног, транспортных средств и т.п. При этом обнаруживаются устойчивые, повторяющиеся признаки, которые позволяют судить о принадлежности указанных следов конкретному лицу или предмету.

16) Энтимéма (др.-греч. ἐνθύμημα) — сокращённый силлогизм, в котором в явной форме не выражена посылка или заключение, однако пропущенный элемент подразумевается.

Иногда к энтимеме прибегают нарочно, желая получить неожиданное заключение. Эффект остроумия в значительной степени зависит от энтимемы.

Согласно Аристотелю («Риторика»), энтимема представляет собой «риторический силлогизм»: его цель — убеждение, в отличие от полного «научного» силлогизма, используемого для доказательства.

Различают три вида энтимемы:

1) силлогизм с пропущенной большей посылкой. Например: «Григорьев - судья. Следовательно, он юрист». Здесь пропущена, но подразумевается большая посылка: «Все судьи — юристы»;

2) силлогизм с пропущенной меньшей посылкой. Например: «Все судьи - юристы. Следовательно, Григорьев — юрист». Предполагается, что «Григорьев - судья»;

3) силлогизм с пропущенным заключением. Например: «Все судьи - юристы. Григорьев - судья». Предполагается, что «следовательно, он - юрист».

Значение энтимем состоит в том, что с их помощью достигается краткость мысли, которая побуждает думать того, к кому она адресована.

17) Язык логики высказываний (пропозициональный язык^[4]) — искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний^[1].

Алфавит языка логики высказываний

Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний, разделены на следующие три категории:^[1][5]

пропозициональные буквы (пропозициональные переменные):

логические знаки (логические союзы):   — знак отрицания,   — знак конъюнкции,   — знак дизъюнкции,   — знак строгой дизъюнкции,   — знак импликации,   — знак эквивалентности;

технические знаки:   — левая скобка,   — правая скобка.

Других знаков в алфавите языка логики высказываний нет.

Пропозициональные переменные[править | править вики-текст]

Пропозициональная переменная — переменная, которая в пропозициональных формулах служит для замены собой элементарных логических высказываний^[3].

Пропозициональные формулы[править | править вики-текст]

Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, играют в этом языке формулы. Пропозициональная формула — конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний^[1]. Заглавные латинские буквы  ,   и др., которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения  ,   и др. — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение   есть схема формул  ,   и др^[1].

Индуктивное определение формулы логики высказываний:^[4][1]

пропозициональная переменная есть формула;

если   — произвольная формула, то   — тоже формула;

если   и   — произвольные формулы, то  ,  ,  ,   и   — тоже формулы;

Других формул в языке логики высказываний нет. Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула^[1].

Язык логики высказываний можно рассматривать как множество пропозициональных формул^[4].

Для формул логики высказываний можно определить понятие интерпретации как приписывание каждой пропозициональной переменной истинностного значения^[6](«истина» или «ложь», хотя исчисление высказываний никак не ограничивает множество возможных значений при интерпретации: например, можно задать интерпретацию как отображение в множество  , где  , — такой подход может использоваться, к примеру, при доказательстве независимости схем аксиом исчисления высказываний).

Логистика - (математическая логика; англ. symbolic logic) — современная форма логики. Она отличается от старой, традиционной логики прежде всего своей эормализированностыо (т. е. принимает во внимание не содержательное значение отдельных высказываний, а лишь их синтаксические категории и их структурные связи) и тем, что ее осн. методом является логическое исчисление (это значит, что выражения можно преобразовывать согласно строгим правилам чисто формально, с ними можно производить логические выкладки) . Не из необходимости, но большей частью исходя из практических соображений она широко использует символику (т. е. отдельные выражения обозначает совершенно определенными знаками) и аксиоматику (т. е. все существующие знаки определяются через несколько осн. , и все законы выводятся по определенным правилам выводов из нескольких осн. правил, аксиом) . Логистика в широком смысле — это учение о логическом исчислении, его предпосылках и применениях, в узком смысле — только учение о логическом исчислении. Логическое исчисление есть сумма логически интерпретированных исчислений. Исчисление — это система знаков и правил оперирования с ними. Пример такого исчисления дает шахматная игра: поля и фигуры представляют систему символов, правила ходов есть операционные правила. Формальные предпосылки логического исчисления разрабатывает металогика, учение о философских основах логического исчисления; сюда относится синтаксис (учение об отношениях знаков между собой; см. также Семиотика) , семантика и прагматика (учение об отношениях между знаками и теми, кто их использует) . В логистике можно выделить следующие части: 1. Исчисление высказываний. Оно исследует связи между высказываниями как нерасчлененными целыми (см. Высказывания) с помощью функторов, которые приблизительно соответствуют словам «не» , «или» , «если.. . то...» , «и» и т. д. Эти функторы называются функциями истинности, потому что значение истинности высказывания (Фреге: «Значение истинности высказывания — это истина или ложь») , которое они образуют, зависит в конечном счете от значения истинности, а не от смысла высказываний, которые служат аргументами этих функторов. Функтор «если.. . то... » называется импликатором, а его применение образует импликацию (pEq, «p включает q»). Др. функции истинности — это: негатор (р, «не-р») , дизъюнктор (pvq, «p или q» (союз «или» понимается здесь в неразделительном смысле) , конъюнктор (р • q, «p...[kon]g», приблизительно соответствует «и» в разговорном языке) , эквивалентор (р? q, «р равно q»; см. также Эквивалент) . 2. Исчисление предикатов. Оно анализирует те высказывания, которые исчисление высказываний рассматривает как целое. Предикат — это имя или внешний знак для обозначения свойств. Подчинение свойства «индивидууму» , т. е. определенному отдельному предмету, выражается посредством предикатора, объем этого подчинения — посредством квантификатора; в исчисление входят не сами свойства, а лишь предикаторы или квантификаторы. Свойство, которое обозначается предикатором с одним только аргументом, называется качеством; при нескольких аргументах его называют отношением. 3. Исчисление классов (см. также Класс) , причем, напр. , класс курильщиков трубок воспринимается как «абстракция» формы выражения «x курит трубку» ; если «f» означает «курить трубки» , то x(fx) означает те самые х, для которых верно fx (x курит трубку) . Функтор «^» поэтому называется абстрактором (компрегенсором) ; как аргумент, он обладает формой высказываний и образует поэтому класс. 4. Исчисление отношений анализирует высказывания об отношениях («брат кого-то» , «больше, чем» , «подобно» и т. д.) . Если R обозначает «составитель» и а — «Библия» , тогда R'а есть класс составителей Библии; если а — «Гомер» , то R'а обозначает класс произв. Гомера. 5. Особые исчисления. Сюда относятся: исчисления модальностей, многозначная логика (см. также Формализм) , комбинаторная логика, силлогистика.