37

ВВЕДЕНИЕ

Основной целью обучения математике в начальной школе является формирование у младших школьников прочных вычислительных навыков, среди которых сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел. В программе по математике для начальной школы предъявляются следующие требования к умениям выпускника начальной школы: уметь выполнять письменные вычисления (сложения и вычитание многозначных чисел, умножение и деление многозначных чисел на однозначное и двузначное число), проверку вычислений.

Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач,

которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе

строится весь начальный курс обучения математике. В начальных классах особое место занимает работа по формированию навыков устных вычислений, поскольку в течение четырех лет обучения учащиеся должны не только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и приобрести твердые вычислительные навыки. Устные вычисления способствуют лучшему усвоению приемов письменных вычислений. т.к. последние включают в себе элементы устных вычислений.

В настоящее время в начальной школе наряду с традиционной системой обучения существует большое количество программ и учебников, авторами которых являются Аргинская И.И., Волкова С.И., Истомина Н.Б., Петерсон О.Г., Салмина Н.Г., Тарасов В.А. и др.

Многие авторы значительно расширяют круг изучаемого материала в начальной школе, зачастую в ущерб основной цели - формирование у младших школьников прочных вычислительных навыков. Учебники часто распространяются не по заказу учителя или желанию родителей, а по требованию администрации, закупающей их. Опытный учитель, работая по новому (параллельному) учебнику пользуется своими старыми конспектами, а иногда ученики занимаются по двум учебникам: по новому - в классе, а по традиционному - дома.

Одной из причин такого устойчивого положения традиционных учебников является то, что изучение каждой темы идет последовательно, с большим количеством упражнений, к учебнику имеются ряд пособий для учителя и ученика и т.п.

Как показывает практика, изучение приемов письменных вычислений по параллельным программам идет разрознено, зачастую им не уделяется специального времени, упражнений в учебниках не достаточно. Это приводит к неправильному формированию навыков письменного сложения и вычитания, которые являются необходимым условием формирования навыков письменного умножения и деления.

В результате чего возникают ошибки у учащихся при выполнении письменных вычислений.

Все выше изложенное определяет актуальность данной курсовой работы.

Результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают материал, совершают много ошибок, в связи с этим, задания которые мы разработали, помогли сформулировать тему исследования «Предупреждение ошибок учащихся при выполнении письменных вычислений».

Цель курсовой работы: предупреждение ошибок учащихся при выполнении письменных вычислений.

Объектом исследования: процесс изучения письменных приёмов вычислений в математике.

Предмет исследования: предупреждение и исправление ошибок у учащихся при выполнении письменных вычислений.

Гипотеза исследования: если предлагать учащимся разработанные задания по предупреждению ошибок учащихся при выполнении письменных вычислении, то количество ошибок уменьшится.

Задачи исследования:

1. Изучить теоретические основы предупреждения ошибок у учащихся при выполнении письменных вычислений научно-методической литературе.

2. Раскрыть особенности процесса изучения письменных приёмов вычислений в математике.

3. Раскрыть типичные ошибки при выполнении письменных вычислений, пути их предупреждения и исправления.

4. Апробировать в процессе практики эффективность разработанных заданий по предупреждению ошибок у учащихся при выполнении письменных вычислений.

Методы исследования: изучение научно-методической литературы, наблюдение за деятельностью учителя и учащихся, анализ письменных работ учащихся, педагогический эксперимент.

Глава 1. Теоретические основы предупреждения ошибок у учащихся при выполнении письменных вычислений

1. Процесс изучения письменных приёмов вычислений

в математике

Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач,

которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе.

Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе

строится весь начальный курс обучения математике. В начальных классах особое место занимает работа по формированию навыков устных вычислений, поскольку в течение четырех лет обучения учащиеся должны не только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и приобрести твердые вычислительные навыки. Устные вычисления способствуют лучшему усвоению приемов письменных вычислений. т.к. последние включают в себе элементы устных вычислений.

В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.

Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами, это вычислительный приём, доведенный до автоматизма. Приобрести вычислительный навык – значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии:

- правильность;

- осознанность;

- рациональность;

- обобщённость;

- автоматизм;

- прочность .

О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению.

Формирование всякого вычислительного навыка включает в себя ряд этапов:

I – подготовительный этап;

II – ознакомление с новым вычислительным приемом;

III – усвоение вычислительного приема и формирование вычислительного умения и навыка .

Рассмотрим особенности каждого из этапов.

1. Подготовка к введению нового приема.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается теоретический прием. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема – овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый прием.

2. Ознакомление с вычислительным приемом.

На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. Степень самостоятельности учащихся должна увеличиваться при переходе от приема к приему другой группы.

3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка.

На данном этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих вычислительный прием, и предельно быстро выполнять эти операции, то есть овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.

На первой стадии закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. На второй стадии происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции, обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, то есть промежуточных вычислений. На третьей стадии происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, то есть здесь происходит свертывание и основных операций. Четвертая стадия характеризуется предельным свертыванием выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане предельно быстро, то есть они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

Рассмотрим подход М.И. Моро к изучению письменных приёмов сложения и вычитания в начальных классах.

В программе Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

Формирование понятий о натуральном числе и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете. Это позволяет с самого начала вести обучение в тесной связи с жизнью. Приобретаемые знания дети могут использовать при решении разнообразных задач, возникающих в их игровой и учебной деятельности, а также в быту [Александрова, 2008, с.89].

Вместе с тем с самого начала обучения у детей формируются некоторые важные обобщения. Так, на примере чисел первого десятка выясняется, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими или последующими числами, учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду).

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 дети знакомятся с названиями действий, их компонентов и результатов, терминами равенство, неравенство. При этом имеется в виду, что математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими любые новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике. В дальнейшем, во II классе, вводятся термины выражение, значение выражения.

Помимо терминологии, дети усваивают и некоторые элементы математической символики: знаки действий (плюс, минус), знаки отношений (больше, меньше, равно); они учатся читать и записывать простейшие математические выражения вида 5 + 4, 7 - 2, а также более сложные выражения вида 6 + (6 - 2). Вместо привычного "Решение примеров" в речи учителя и учащихся звучит: "Найдем значение выражения", "Сравним выражения" и т.п.

В программе предусмотрено ознакомление с некоторыми свойствами арифметических действий и основанными на них приемами вычислений. Так, в теме "Числа от 1 до 10" дети знакомятся с переместительным свойством сложения, учатся пользоваться приемом перестановки слагаемых в тех случаях, когда его применение облегчает вычисления (например, в случаях вида 2 + 7, 1+6 и т.п.). На основе практических действий с предметами учащиеся знакомятся с тем, что прибавить или вычесть число можно по частям (например, 6 + 3 = 6 + 2+1, 6 - 3 = 6 - 2-1). Таким образом учащиеся практически знакомятся с сочетательным свойством сложения, которое во II классе будет специально рассмотрено и сформулировано. Ознакомление со связью между сложением и вычитанием дает возможность находить разность, опираясь на знание состава чисел и соответствующих случаев сложения [Моро, 2009, 87 с.].

В результате изучения темы "Письменные приёмы сложения и вычитания " учащиеся должны:

- понимать конкретный смысл действий сложения и вычитания, что проявляется в умении правильно выбрать одно из этих действий при решении задач;

- знать взаимосвязь, существующую между этими действиями, о чем может свидетельствовать прежде всего умение проверить правильность сложения с помощью вычитания (и наоборот), а также умение решать уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого;

- понимать, что складывать можно сколько угодно чисел и в любом порядке, применяя это при вычислениях;

- знать, как изменяется сумма при изменении одного из слагаемых и разность при изменении уменьшаемого или вычитаемого, т.е. уметь правильно отвечать на вопросы вида: "Одно из двух слагаемых увеличили на 5. Как изменится сумма?"; "Используя равенство 248 + 372 = 620, найдите значение выражения (248 + 90) + 372" и т.п.;

- овладеть навыком сложения и вычитания многозначных чисел, что должно подтверждаться положительной оценкой выполнения письменных и устных вычислений (в соответствии с нормами оценок).

На первом из уроков, посвященных изучению сложения и вычитания многозначных чисел, главной задачей является распространить уже известные учащимся правила (алгоритм) сложения и вычитания трехзначных чисел на числа четырехзначные, пятизначные и т.п. Как правило, этот перенос большинству учащихся дается довольно легко. И если у некоторых из них и появляются затруднения в основном связаны с двумя обстоятельствами:

- с плохим знанием таблицы сложения однозначных чисел;

- с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых в том случае, когда она является двузначным числом.

Поэтому, приступая к работе над новым материалом, следует рассмотреть два-три примера сложения и вычитания трехзначных чисел, подробно вспомнив правила выполнения действий и сопровождая выполнение действий достаточно подробными объяснениями, как это делалось во II классе [Моро, 2009, с.76]. Затем предлагается выполнить с комментированием сложение и вычитание четырех- и пятизначных чисел. Заметим, что сравнительно сложным случаям вычитания, когда, например, уменьшаемое содержит несколько нулей подряд, целесообразно посвятить специальный урок. При этом последовательно можно рассмотреть, например, как выполняются действия в следующих случаях:

200 2000 4 34 197 и т.п.

В каждом из случаев подробно рассматривается процесс "занимания" и замены 1 единицы высшего разряда 10 единицами ближайшего низшего разряда. Например, при решении первого из приведенных примеров можно сказать: "Из нуля единиц вычесть 4 единицы нельзя. Возьмем одну сотню (для памяти над ней поставим точку) и заменим ее 10 десятками. "Займём" 1 десяток, 9 десятков этой сотни оставим в разряде десятков, а 1 десяток заменим 10 единицами. Из 10 единиц вычтем 4 единицы, получится 6 единиц. Записываем их под единицами. Из 9 десятков ничего не вычитается, поэтому число 9 подписываем в результате под десятками".

Учащиеся уже имеют определенные представления о взаимосвязи вычитания и сложения. Они часто использовали их в I и II классах, например, для решения уравнений вида: х + 2 = 7; х - 3 = 5 и т.п.

При этом для нахождения одного из слагаемых им приходилось выполнять вычитание, а при нахождении уменьшаемого - сложение. В III классе, не давая определения вычитания через сложение (оно будет дано позже, в IV классе), можно показать учащимся, как вычитание связано со сложением. Например, обратить внимание детей на то, что вычесть из числа 27 число 15 - значит найти такое число, которое при сложении с числом 15 даст число 27. Это число 12.

- 15 = 12, потому что 15 + 12 = 27.

Выявление этой связи должно быть использовано для проверки вычитания с помощью сложения и наоборот. Нужно приучить детей без специального указания или требования со стороны учителя обязательно выполнять проверку результатов вычислений одним из способов. Проверка должна стать необходимой частью решения вычислительной задачи [Моро, 2009, с.54].

В ходе изучения рассматриваемой темы обобщаются представления об основных свойствах сложения. Необходимо убедиться в том, что переместительное свойство сложения имеет место и для трех и для четырех и для большего числа слагаемых. Для этого достаточно вычислить значение одного и того же выражения (суммы трех или четырех слагаемых), меняя местами рядом стоящие слагаемые. Необходимо рассмотреть достаточно яркие примеры, убеждающие в том, что применение переместительного свойства может упростить вычисления. Например, при нахождении суммы 27 + 92 + 73 учащиеся должны заметить, что если поменять местами слагаемые 92 и 73, то в сумме 27 + 73 + 92 первые 2 слагаемых дадут число 100, а найти сумму 100 и 92 не представляет труда.

Сразу после этого, в связи с изучением порядка действий и применением скобок для записи выражений, необходимо ознакомить учащихся с возможностью группировать слагаемые при вычислении суммы (сочетательное свойство суммы). Наконец, делается вывод, который постепенно усваивается в виде правила: "При сложении трех и более чисел любые два (или больше) числа можно заменить их суммой". Наиболее важным при этом является усвоение не самой формулировки правила, а формирование умений использовать сочетательное свойство суммы в вычислениях, вначале на примерах, а затем и одновременно с применением переместительного свойства, например: 27 + 196 + 33 + 4 = (196 + 4) + (27 + 33) = 200 + 60 = 260.

В связи с такими упражнениями нужно целенаправленно готовить учащихся к выводу, что в выражениях, составленных только с помощью знака "+", наличие или отсутствие скобок не влияет на их значение.

В методике, обеспечивающей правильное и осознанное усвоение детьми порядка выполнения действий, достигается правильное понимание роли скобок наряду с опорой на свойства сложения и вычитания и известных учащимся с I класса некоторых следствий из них (правила "прибавления к числу суммы", "... суммы к числу", "вычитания из числа суммы" и т.п.). Исключительно важную роль при этом играют навыки чтения выражений и составления выражений. Совершенствование этих навыков должно представлять непрерывный процесс с постоянным усложнением требований. Большое значение имеет в этом отношении решение текстовых задач с помощью составления выражений или уравнений. Работа по формированию указанных выше умений, как правило, должна быть тесно связана с совершенствованием вычислительных навыков, с усвоением алгоритмов выполнения сложения или вычитания. Этой цели отвечают, например, упражнения вида: "Запиши с помощью знаков действий и вычисли:

а) сумму числа 1127 и разности чисел 3957 - 2839;

б) выражение, в котором уменьшаемое есть число 20 137, а вычитаемое выражено суммой чисел 7213 и 2931". Примеры такого рода учитель найдёт в учебнике. Следует, однако, предостеречь учителя от необоснованного усложнения формулировок и содержания аналогичных заданий и превышения уровня сложности приведенных выше примеров.

А теперь рассмотрим особенности работы письменных приёмов сложения и вычитания по курсу Аргинской И.И. Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание - как разбиение группы на две.

Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а, с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием [Лавриенко, 2001, с.53].

В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание - как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, то есть ответить на вопрос о том, на сколько одно число больше (меньше) другого.

Используется и другой аспект расширения понятий об этих действиях - помимо сложения и вычитания натуральных чисел, происходит знакомство с выполнением этих действий с дробными числами с одинаковыми знаменателями, а также сложение и вычитание отрезков, многоугольников, объемных тел [Аргинская, 2005, с.14].

Первоначально дети находят значения сумм и разностей так, как считают нужным. Как правило, это пересчет элементов после объединения заданных множеств или после выделения одного из подмножеств из заданного множества или присчитывания и отсчитывания элементов. Учителю в этот период необходимо побуждать детей сравнивать эти способы так, чтобы и на этой основе дети смогли сделать самостоятельный вывод о том, какой из способов более рационален. Следующим шагом является начало знакомства с общепринятым способом выполнения рассматриваемых действий - таблицей сложения.

Если в классе есть хотя бы один ученик, который не использует счетный материал (палочки, пальцы и т.д.), а записывает результаты действий по памяти, необходимо привлечь внимание остальных учеников к этому способу, предложив такому ученику рассказать, как он получает результат. Объяснение, как правило, одно - ученик помнит результат действий наизусть. Если же таких учеников нет, главным действующим лицом становится сам учитель. Именно он показывает, что не пользуется счетным материалом, и объясняет, почему это так. После этого сообщает, что существует таблица сложения, запомнив которую, можно без счетного материала находить значения сумм и разностей.

После завершения представленной выше работы начинается основной этап изучения сложения и вычитания - составление таблицы сложения. Он распадается на три части:

- составление таблицы сложения без перехода через десяток;

- сокращение этой части таблицы до необходимого и достаточного минимума на основе переместительного закона сложения и расположения чисел в натуральном ряду;

- составление таблицы сложения с переходом через десяток.

Составление всей таблицы сложения строится на основе состава числа из двух однозначных чисел. При сокращении таблицы сложения желательно провести занятия так, чтобы они были максимально эмоциональными. Для этого вся таблица должна быть сосредоточена в одном месте (лучше всего отвести в тетради специальную страницу, на которую постепенно заносятся составленные столбики таблицы). Всего на ней окажется 36 равенств. Однако после сокращения останется только 12 равенств, запомнив которые, можно найти значение любой суммы и разности.

Taблица сложения.

2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 5 + 2 = 7 6 + 2 = 8 7 + 2 = 93 + 3 = 6 4 + 3 = 7 5 + 3 = 8 6 + 3 = 94 + 4 = 8 5 + 4 = 9

В отличие от подачи материалов в традиционной системе внетабличное сложение и вычитание строятся не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании положений, лежащих в основе алгоритма их выполнения:

- поразрядность выполнения каждой из этих операций;

- использование таблицы сложения для вычислений в каждом разряде.

Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев [Зайцев, 2009, с.35].

Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел. С ними детям сравнительно легко работать, а операции с ними без значительной затраты сил и времени дети могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.

В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части. Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в 1-м классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе [Истомина, 206, с.154].

Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в 4-м классе.